蒙特卡罗算法
定义
- 蒙特卡罗是一类随机方法的统称。这类方法的特点是，可以在随机采样上计算得到近似结果，随着采样的增多，得到的结果是正确结果的概率逐渐加大，但在（放弃随机采样，而采用类似全采样这样的确定性方法）获得真正的结果之前，无法知道目前得到的结果是不是真正的结果。
特点
- 基于随机数
- 统计模拟法
- 拟蒙特卡洛算法在近几年也获得迅速发展。这种方法是用确定性的超均匀分布代替蒙特卡洛算法中的
随机数序列，对于某些特定问题计算速度比普通的蒙特卡洛算法高几百倍。
对比
- 拉斯维加斯算法
尽量找最好的，但不保证能找到
- 蒙特卡罗算法
尽量找好的，但不保证是最好的
实现的三个步骤
- 构造描述概率过程
- 实现从已知概率分布抽样
随机数是实现模拟的工具
- 建立各种估计量
得到无偏估计
举例
clear
dt=1/365.0; % 一天的年单位时间
S0=20; % 股票在初始时刻的价格，程序中假设
r=0.031; % 期望收益率
sigma=0.6; % 波动率=0.6
expTerm=r*dt; % 漂移项dt
stddev=sigma*sqrt(dt); % 波动项o:dz(t)
nDays1=90; % 要模拟的总天数
for nDays=1:nDays1 % nDays表示时刻t
nTrials=10000; % 模拟次数
for j=1:nTrials
n = randn(1,nDays); %生成nDays个标准正态分布随机数
S=S0;
for i=1:nDays
dS = S*(expTerm+stddev*n(i)); % 模拟计算股票价格的增量
S=S+dS; %计算股票价格
end
S1(nDays,j)=S; % 将每天的股票模拟价格数据记录在S1中
end
end
S2=mean(S1'); % 计算每天模拟的股票价格的均值，作为价格的估值
plot(S2','-o') % 90天期间股票价格估值的曲线图
figure(2)
hist(S1(90,:),0:0.5:65) %第90天的股票价格模拟的直方图
#include <bits/stdc++.h>
#define MAX_ITERS 1000000
using namespace std;
double Rand(double L, double R)
{
return L + (R - L) * rand() * 1.0 / RAND_MAX;
}
double GetPi()
{
srand(time(NULL));
int cnt = 0;
for(int i = 0; i < MAX_ITERS; i++)
{
double x = Rand(-1, 1);
double y = Rand(-1, 1);
if(x * x + y * y <= 1)
cnt++;
}
return cnt * 4.0 / MAX_ITERS;
}
int main()
{
for(int i = 0; i < 10; i++)
cout << GetPi() << endl;
return 0;
}
#include <bits/stdc++.h>
#define MAX_ITERS 10000000
using namespace std;
struct Point
{
double x, y;
};
double Rand(double L, double R)
{
return L + (R - L) * rand() * 1.0 / RAND_MAX;
}
Point getPoint()
{
Point t;
t.x = Rand(1.0, 2.0);
t.y = Rand(0.0, 1.0);
return t;
}
double getResult()
{
int m = 0;
int n = MAX_ITERS;
srand(time(NULL));
for(int i = 0; i < n; i++)
{
Point t = getPoint();
double res = t.x * t.y;
if(res <= 1.0)
m++;
}
return pow(2.0, 1.0 * n / m);
}
int main()
{
for(int i = 0; i < 20; i++)
cout << fixed << setprecision(6) << getResult() << endl;
return 0;
}