浅谈数据结构-关键路径

上一章节讲解了拓扑排序问题，拓扑排序是解决一个工程能否顺序解决的问题，本质是一个广度层次遍历的过程，通过记录顶点入度问题，进行逐步输出的工作。在实际生活中，往往是求解工程完成需要最短时间问题。比如生活中生产一辆汽车，需要生产各种各样的零件，最终组装成车。例如生产轮子0.5天，发动机3天，底盘2天，其他部件2天，集中全部零件0.5天，组装需要2天。请问组装一辆汽车，最短需要多长时间。根据前面描述，我们构造这样的AOV网络图，一看便知。

通过网络中，我们很清晰的知道，关键路径是5.5，如果发动机提高效率，那么关键路径就是4.5。对于以项目关键问题就是寻找关键路径，也许对于上图很容易寻找，而对于下图，就需要关键路径算法，进行计算寻找。

关键路径：路径上各个活动所持续的时间之和为路径长度，从源点到汇点具有最大长度的路径叫关键路径。

一、算法思想

在介绍关键路径的时，先介绍几个概念

事件最早发生时间ve（earliest time of vertex）：顶点v_k的最早发生时间，从始点到vi的最长（加权）路径长度。
事件最晚发生时间vl(lastest time of vertex)：顶点v_k的最晚发生时间，在不拖延整个工期的条件下，vi的可能的最晚发生时间。。
活动最早发生时间e(earliest time of edge)：活动a_k的最早发生时间，等于事件vi的最早发生时间。
活动最晚发生时间l(lastest time of edge)：弧a_k的最晚发生时间，在不拖延整个工期的条件下，该活动的允许的最迟开始时间。

关键路劲算法原理：先获取ve和vl，通过上述两者获取e和l，然后判断e和l是否相等来判断a是否是关键活动。

二、算法分析

关键路径算法是一种典型的动态规划法，设图G=(V, E)是个AOE网，结点编号为1,2,...,n，其中结点1与n 分别为始点和终点，ak=<i, j>∈E是G的一个活动。算法关键是确定活动的最早发生时间和最晚发生时间，进而获取顶点的最早开始时间和最晚开始时间。

根据前面给出的定义，可推出活动的最早及最晚发生时间的计算方法：

e(k) = ve(i)

l(k) = vl(j) - len(i,j)

结点的最早发生时间的计算，需按拓扑次序递推：

ve(1) = 0

ve(j) = MAX{ etv(i)+len(i, j) }

对所有<i,j> ∈E的i 结点的最晚发生时间的计算，需按逆拓扑次序递推：

vl(n) = ve(n)

vl(i) = MIN{vl(j) - len(i, j)} 对所有<i,j>∈E的j

这种计算方法，依赖于拓扑排序，即计算ve( j) 前，应已求得j 的各前趋结点的ve值，而计算vl(i)前，应已求得i的各后继结点的vl值。ve的计算可在拓扑排序过程中进行，即在每输出一个结点i后，在删除i的每个出边<i,j>（即入度减1）的同时，执行

if ( ve[i]+len(i,j)) > ve[j] )

ve[j] = ve[i] + len(i,j)

三、例图解析

所以根据算法：

四、代码

//改进的拓扑排序，用于关键路径算法
void GraphData::TopoLogicalSortAdv(GraphListAdv *pList)
{
    EdgeNode *e;
    int ncount = 0;  //统计输出顶点个数，用于判断是否有环
    int nIndex ; // y用于保存度为0的坐标
    stack<int> staNode;
    
    for (int i = 0;i < pList->numVertess; i++)
    {
        if (pList->vertexList[i].in == 0)
        {
            staNode.push(i);    //将入度为0的顶点入栈
        }
    }
    memset(this->veArray,0,pList->numVertess);    

    while(!staNode.empty())
    {
        nIndex = staNode.top();  // 获取入度为0的顶点
        staNode.pop();     //出栈
        staEtv.push(nIndex);   //将弹出的顶点序号压入拓扑序列堆栈
        printf("%c ->",pList->vertexList[nIndex].nNodeData);  //打印顶点
        ncount ++;
        //对此顶点的处理：下一个顶点入度减1，如果为0还要进栈
        for (e = pList->vertexList[nIndex].pFirstNode;e;e = e->next)
        {
            //对此顶点弧表遍历
            int temp = e->nNodevex;
            //将temp号顶点邻接点的入度减1,若为0，则入栈，以便于下次循环输出
            if (!(--pList->vertexList[temp].in))
            {
                staNode.push(temp);
            }
            //求取各个顶点的事件最早发生时间。
            if (veArray[nIndex] + e->nNodeWeight > veArray[temp])
            {
                veArray[temp] = veArray[nIndex] + e->nNodeWeight;
            }
        }
    }
    if (ncount < pList->numVertess)
    {
        printf(" 图有内环");
    }
}
//关键路径算法
void GraphData::CriticalPath(GraphListAdv *pList)
{
    EdgeNode *node;
    int i,j,top,k;
    int ete,lte;
    TopoLogicalSortAdv(pList);
    for (i = 0; i< pList->numVertess;i++)
    {
        vlArray[i] = veArray[i];    //初始化vl
    }

    while(!staEtv.empty())
    {
        top = staEtv.top();
        staEtv.pop();
        for (node = pList->vertexList[top].pFirstNode;node;node = node->next)
        {
            k = node->nNodevex;
            if (vlArray[k] - node->nNodeWeight < vlArray[top])  //求取顶点事件的最晚发生时间
            {
                vlArray[top] = vlArray[k] + node->nNodeWeight; 
            }

        }
        
    }
    //求取关键路径        
    for (i = 0;i < pList->numVertess;i++)
    {
        for (node = pList->vertexList[i].pFirstNode; node;node = node->next)
        {
            k = node->nNodevex;
            ete = veArray[k];
            lte = vlArray[k];
            if (ete == lte)
            {
                printf("<v%c,v%c> length: %d,  ",pList->vertexList[i].nNodeData,pList->vertexList[k].nNodeData,node->nNodeWeight);
            }
        }
    }

}

关键路径

五、代码分析

程序最后的输出结果如上图。

在程序中首先是利用上一章节的拓扑排序进行改进，包括将顶点入栈，同时获取顶点的最早活动时间，之后根据顶点的最早活动时间，逆序获取顶点最晚活动时间，进而获取项目的最晚活动时间数组。最终结果就如例图解释中所示，获取到每个顶点的最早开始时间和最晚开始时间。

其中最早开始时间和最晚开始时间相等，说明在顶点的活动是没有空闲时间的，关键路径的活动各个顶点就是求取最大路径长度，所以，两者相等就是关键路径的判断条件，算法的关键是利用拓扑排序获取顶点的最早开始时间和最晚开始时间。

六、图相关程序代码

  1 /* 邻接矩阵表示的图结构*/
  2 #include <stdio.h>
  3 #include <stdlib.h>
  4 #include <stack>
  5 using namespace std;
  6 
  7 
  8 #define  MAXVEX 100      //最大顶点数
  9 #define INFINITY 65535   //最大权值
 10 
 11 typedef int EdgeType;    //权值类型自己定义
 12 typedef char VertexType;  //顶点类型自己定义
 13 #pragma once
 14 
 15 #pragma region 邻接矩阵结构体
 16 typedef struct 
 17 {
 18     VertexType vex[MAXVEX];   //顶点表
 19     EdgeType arg[MAXVEX][MAXVEX];  ///权值表-邻接矩阵
 20     int numVertexes,numEdges;  //图中的边数和顶点数
 21 }GraphArray;
 22 //边集数组
 23 typedef struct
 24 {
 25     int begin;
 26     int end;
 27     int weight;
 28 }Edge;
 29 #pragma endregion
 30 
 31 #pragma region 邻接表结构体
 32 //边表结点
 33 typedef struct EdgeNode
 34 {
 35     int nNodevex;     //邻接点的点表中结点的坐标
 36     EdgeType nNodeWeight;   //用于网图中边的权值
 37     EdgeNode* next;       //链域，指向下一个邻接点
 38 }EdgeNode,*pEdgeNode;
 39 //顶点表结点
 40 typedef struct VertexNode
 41 {
 42     VertexType nNodeData;   //顶点表中存储的数据
 43     pEdgeNode pFirstNode;   //顶点表和边表中关联指针，指向边表头指针
 44 
 45 }VertexNode,*pVertexNode,VertexList[MAXVEX];
 46 typedef struct VertexNodeAdv
 47 {
 48     int in;                  //顶点的度
 49     VertexType nNodeData;   //顶点表中存储的数据
 50     pEdgeNode pFirstNode;   //顶点表和边表中关联指针，指向边表头指针
 51 }VertexNodeAdv,*pVertexNodeAdv,VertexListAdv[MAXVEX];;
 52 //图结构
 53 typedef struct
 54 {
 55     VertexList vertexList;
 56     int numVertess,numEdges;
 57 }GraphList;
 58 
 59 //图结构
 60 typedef struct
 61 {
 62     VertexListAdv vertexList;
 63     int numVertess,numEdges;
 64 }GraphListAdv;
 65 #pragma endregion
 66 
 67 class GraphData
 68 {
 69 public:
 70     GraphData(void);
 71     ~GraphData(void);
 72     #pragma region 创建邻接矩阵
 73     void CreateGraphArray(GraphArray* pGraphArray,int numVer,int numEdegs);
 74     int GetGraphLocation(GraphArray* pGraphArrray,char chpoint);
 75     #pragma endregion
 76 
 77     #pragma region 创建邻接表
 78     void CreateGraphList(GraphList* pList,int numVer,int numEdegs);
 79     void CreateGraphListAdv(GraphListAdv* pList,int numVer,int numEdegs);
 80     int GetGraphListLocation(GraphList* pList,char chpoint);
 81     int GetGraphAdvListLocation(GraphListAdv* pList,char chpoint);
 82     #pragma endregion
 83 
 84     #pragma region 图的遍历
 85     //邻接表的深度递归算法
 86     void DFS(GraphList *pList,int i);
 87     //邻接表的深度遍历操作
 88     void DFSTraverse(GraphList* pList);
 89     //邻接矩阵的深度递归算法
 90     void DFS(GraphArray *pArray,int i);
 91     //邻接矩阵的深度遍历操作
 92     void DFSTraverse(GraphArray *pArray);
 93     //邻接矩阵的广度遍历操作
 94     void BFSTraverse(GraphArray *pArray);
 95     //邻接表的广度遍历操作
 96     void BFSTraverse(GraphList *pList);
 97     #pragma endregion
 98 
 99     #pragma region 最小生成树
100     //prime算法
101     void MiniSpanTree_Prime(GraphArray *pArray);
102     //Kruskal算法(克鲁斯卡尔）
103     void MiniSpanTree_Kruskal(GraphArray *pArray);
104     #pragma endregion
105 
106     #pragma region 最短路径
107     //Dijkstra算法
108     void ShortPath_Dijkstra(GraphArray *pArray);
109     //Floyd算法
110     void ShortPath_Floyd(GraphArray *pArray);
111     #pragma endregion
112 
113     #pragma region 拓扑排序、关键路径
114     //拓扑排序
115     void TopoLogicalSort(GraphListAdv *pList);
116     //改进的拓扑排序，用于关键路径算法
117     void TopoLogicalSortAdv(GraphListAdv *pList);
118     //关键路径算法
119     void CriticalPath(GraphListAdv *pList);
120     #pragma endregion
121 
122 private:
123     bool bVisited[MAXVEX];
124     int veArray[MAXVEX];
125     int vlArray[MAXVEX];
126     stack<int> staEtv;
127 
128 #pragma region 私有方法
129 
130     int FindLastLine(int *parent,int f);
131 
132     void InsertSort(Edge *pEdge,int k);
133 
134     void GraphToEdges(GraphArray *pArray,Edge *pEdge);
135 #pragma endregion
136 
137 };

图的相关算法头文件

  1 #include "GraphData.h"
  2 #include <queue>
  3 #include <stack>
  4 using namespace std;
  5 GraphData::GraphData(void)
  6 {
  7 }
  8 
  9 
 10 GraphData::~GraphData(void)
 11 {
 12 }
 13 
 14 #pragma region 创建邻接矩阵
 15 int GraphData::GetGraphLocation(GraphArray* pGraphArrray,char chpoint)
 16 {
 17     int i = 0;
 18     for (i = 0;i< pGraphArrray->numVertexes;i++)
 19     {
 20         if (pGraphArrray->vex[i] == chpoint)
 21         {
 22             break;;
 23         }
 24     }
 25     if (i >= pGraphArrray->numVertexes)
 26     {
 27         return -1;
 28     }
 29     return i;
 30 }
 31 /// <summary>
 32 /// 创建邻接矩阵
 33 /// </summary>        
 34 void GraphData::CreateGraphArray(GraphArray* pGraphArray,int numVer,int numEdegs)
 35 {
 36     int weight = 0;
 37     pGraphArray->numVertexes = numVer;
 38     pGraphArray->numEdges = numEdegs;
 39     
 40     //创建顶点表
 41     for (int i= 0; i < numVer;i++)
 42     {
 43         pGraphArray->vex[i] = getchar();
 44         while(pGraphArray->vex[i] == '
')
 45         {
 46             pGraphArray->vex[i] = getchar();
 47         }
 48     }
 49 
 50     //创建邻接表的边矩阵
 51     for (int i = 0; i < numEdegs; i++)
 52     {
 53         for (int j = 0;j < numEdegs ; j++)
 54         {
 55             pGraphArray->arg[i][j] = INFINITY;
 56         }        
 57     }
 58     for(int k = 0; k < pGraphArray->numEdges; k++)
 59     {
 60         char p, q;
 61         printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:
");
 62 
 63         p = getchar();
 64         while(p == '
')
 65         {
 66             p = getchar();
 67         }
 68         q = getchar();
 69         while(q == '
')
 70         {
 71             q = getchar();
 72         }
 73         scanf("%d", &weight);    
 74 
 75         int m = -1;
 76         int n = -1;
 77         m = GetGraphLocation(pGraphArray, p);
 78         n = GetGraphLocation(pGraphArray, q);
 79         if(n == -1 || m == -1)
 80         {
 81             fprintf(stderr, "there is no this vertex.
");
 82             return;
 83         }
 84         //getchar();
 85         pGraphArray->arg[m][n] = weight;
 86         pGraphArray->arg[n][m] = weight;  //因为是无向图，矩阵对称
 87     }
 88     
 89 }
 90 
 91 #pragma endregion
 92 
 93 #pragma region 创建邻接表
 94 void GraphData::CreateGraphList(GraphList* pList,int numVer,int numEdegs)
 95 {
 96     int weight = 0;
 97     GraphList *pGraphList = pList;
 98     pGraphList->numVertess = numVer;
 99     pGraphList->numEdges = numEdegs;
100     EdgeNode* firstNode,*secondNode;
101     //创建顶点表
102     for (int i= 0; i < numVer;i++)
103     {
104         pGraphList->vertexList[i].nNodeData = getchar();
105         pGraphList->vertexList[i].pFirstNode = NULL;
106         while(pGraphList->vertexList[i].nNodeData == '
')
107         {
108             pGraphList->vertexList[i].nNodeData = getchar();
109         }
110     }
111 
112     //创建边表    
113     for(int k = 0; k < pGraphList->numEdges; k++)
114     {
115         char p, q;
116         printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:
");
117 
118         p = getchar();
119         while(p == '
')
120         {
121             p = getchar();
122         }
123         q = getchar();
124         while(q == '
')
125         {
126             q = getchar();
127         }
128         scanf("%d", &weight);    
129 
130         int m = -1;
131         int n = -1;
132         m = GetGraphListLocation(pGraphList, p);
133         n = GetGraphListLocation(pGraphList, q);
134         if(n == -1 || m == -1)
135         {
136             fprintf(stderr, "there is no this vertex.
");
137             return;
138         }
139         //getchar();
140         //字符p在顶点表的坐标为m，与坐标n的结点建立联系权重为weight
141         firstNode = new EdgeNode();
142         firstNode->nNodevex = n;
143         firstNode->next = pGraphList->vertexList[m].pFirstNode;
144         firstNode->nNodeWeight = weight;
145         pGraphList->vertexList[m].pFirstNode = firstNode;
146 
147         //第二个字符second
148         secondNode = new EdgeNode();
149         secondNode->nNodevex = m;
150         secondNode->next = pGraphList->vertexList[n].pFirstNode;
151         secondNode->nNodeWeight = weight;
152         pGraphList->vertexList[n].pFirstNode = secondNode;
153 
154     }
155 }
156 
157 int GraphData::GetGraphListLocation(GraphList* pList,char chpoint)
158 {
159     GraphList *pGraphList = pList;
160     int i = 0;
161     for (i = 0;i< pGraphList->numVertess;i++)
162     {
163         if (pGraphList->vertexList[i].nNodeData == chpoint)
164         {
165             break;;
166         }
167     }
168     if (i >= pGraphList->numVertess)
169     {
170         return -1;
171     }
172     return i;
173 }
174 
175 int GraphData::GetGraphAdvListLocation(GraphListAdv* pList,char chpoint)
176 {
177     GraphListAdv *pGraphList = pList;
178     int i = 0;
179     for (i = 0;i< pGraphList->numVertess;i++)
180     {
181         if (pGraphList->vertexList[i].nNodeData == chpoint)
182         {
183             break;;
184         }
185     }
186     if (i >= pGraphList->numVertess)
187     {
188         return -1;
189     }
190     return i;
191 }
192 #pragma endregion
193 
194 #pragma region 图的遍历
195 //邻接表的深度递归算法
196 void GraphData::DFS(GraphList *pList,int i)
197 {
198     EdgeNode *itemNode;
199     bVisited[i] = true;
200     printf("%c",pList->vertexList[i].nNodeData); //打印顶点数据
201     itemNode = pList->vertexList[i].pFirstNode;
202     while(itemNode)
203     {
204         if (!bVisited[itemNode->nNodevex])
205         {
206             DFS(pList,itemNode->nNodevex);
207         }
208         itemNode = itemNode->next;
209     }
210 }
211 //邻接表的深度遍历操作
212 void  GraphData::DFSTraverse(GraphList* pList)
213 {
214     int i;
215     GraphList *pGraphList = pList;
216     for ( i = 0;pGraphList->numVertess;i++)
217     {
218         bVisited[i] = false;
219     }
220     for (i = 0;i < pGraphList->numVertess;i++)
221     {
222         if (!bVisited[i])
223         {
224             DFS(pGraphList,i);
225         }        
226     }
227 }
228 //邻接矩阵的深度递归算法
229 void  GraphData::DFS(GraphArray *pArray,int i)
230 {
231     int j = 0;
232     printf("%c",pArray->vex[i]);   //打印顶点，也可以其他操作
233     for (j = 0; j< pArray->numVertexes;j++)
234     {
235         if (!bVisited[j]&&pArray->arg[i][j] == 1)    //关键之前初始化时，有关系的边赋值为1，所以由此进行判断
236         {
237             DFS(pArray,j);        //对为访问的邻接顶点递归调用
238         }
239     }
240 }
241 //邻接矩阵的深度遍历操作
242 void  GraphData::DFSTraverse(GraphArray *pArray)
243 {
244     int i;
245     for (i = 0;i < pArray->numVertexes;i++)
246     {
247         bVisited[i] = false;
248     }
249     for(i = 0; i< pArray->numVertexes;i++)
250     {
251         if (!bVisited[i])
252         {
253             DFS(pArray,i);
254         }
255     }
256 }
257 
258 //邻接矩阵的广度遍历操作
259 void GraphData::BFSTraverse(GraphArray *pArray)
260 {
261     queue<int> itemQueue;
262     int i,j;
263     for(i = 0 ;i< pArray->numVertexes;i++)
264     {
265         bVisited[i] = false;
266     }
267     for(i = 0;i< pArray->numVertexes;i++)//每个顶点循环
268     {
269         if (!bVisited[i])//访问未被访问的顶点
270         {
271             bVisited[i] = true;
272             printf("%c",pArray->vex[i]);
273             itemQueue.push(i);   //将此结点入队
274             while(!itemQueue.empty())
275             {
276                 int m = itemQueue.front();   //结点出队
277                 itemQueue.pop();
278                 for(j = 0;j< pArray->numVertexes;j++)
279                 {
280                     //判断其他顶点与当前顶点存在边且未被访问过。
281                     if (!bVisited[j] && pArray->arg[m][j] == 1)
282                     {
283                         bVisited[j] = true;
284                         printf("%c",pArray->vex[j]);
285                         itemQueue.push(j);
286                     }
287                 }
288             }
289         }
290     }
291 }
292 //邻接表的广度遍历操作
293 void GraphData::BFSTraverse(GraphList *pList)
294 {
295     queue<int> itemQueue;
296     int i,j;
297     EdgeNode* pitemNode;
298     for(i = 0 ;i< pList->numVertess;i++)
299     {
300         bVisited[i] = false;
301     }
302     for(i = 0;i<pList->numVertess;i++)
303     {
304         if (!bVisited[i])
305         {
306             bVisited[i] = true;
307             printf("%c",pList->vertexList[i].nNodeData);
308             itemQueue.push(i);
309             while(!itemQueue.empty())
310             {
311                 int m = itemQueue.front();
312                 itemQueue.pop();
313                 pitemNode = pList->vertexList[m].pFirstNode;
314                 while(pitemNode)
315                 {
316                     if (bVisited[pitemNode->nNodevex])
317                     {
318                         bVisited[pitemNode->nNodevex] = true;
319                         printf("%c",pList->vertexList[pitemNode->nNodevex].nNodeData);
320                         itemQueue.push(pitemNode->nNodevex);
321                     }
322                     pitemNode = pitemNode->next;
323                 }
324 
325             }
326         }
327     }
328 }
329 #pragma endregion
330 
331 #pragma region 最小生成树
332 //prime算法
333 void GraphData::MiniSpanTree_Prime(GraphArray *pArray)
334 {
335     int min,i,j,k;
336     int nNodeIndex[MAXVEX];      //保存相关顶点坐标，1就是已经遍历访问的过结点
337     int nNodeWeight[MAXVEX];     //保存某个顶点到各个顶点的权值，为不为0和最大值表示遍历过了。
338     //两个数组的初始化
339     printf("开始初始化，当前顶点边的权值为：");
340     for(i = 0;i<pArray->numVertexes;i++)
341     {
342         nNodeIndex[i] = 0;
343         nNodeWeight[i] = pArray->arg[0][i];//设定在矩阵中第一个顶点为初始点。
344         printf(" %c",nNodeWeight[i]);
345     }
346     nNodeWeight[0] = 0;  //选取坐标点0为起始点。
347     //Prime算法思想
348     for (i = 1;i< pArray->numVertexes;i++)
349     {
350         min = INFINITY;    //初始化权值为最大值;
351         j = 1;
352         k = 0;
353         // 循环全部顶点，寻找与初始点边权值最小的顶点，记下权值和坐标
354         while(j < pArray->numVertexes)
355         {
356             //如果权值不为0,且权值小于min,为0表示本身
357             if (nNodeWeight[j] != 0&&nNodeWeight[j] < min)
358             {
359                 min     = nNodeWeight[j];
360                 k = j;     //保存上述顶点的坐标值
361             }
362             j++;
363         }
364         printf("当前顶点边中权值最小边(%d,%d)
",nNodeIndex[k] , k); //打印当前顶点边中权值最小
365         nNodeWeight[k] = 0; //将当前顶点的权值设置为0，表示此顶点已经完成任务
366 
367         for (j = 1;j< pArray->numVertexes;j++)  //循环所有顶点，查找与k顶点的最小边
368         {
369             //若下标为k的顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入的生成树权值
370             if (nNodeWeight[j] != 0&&pArray->arg[k][j] < nNodeWeight[j])
371             {
372                 nNodeWeight[j] = pArray->arg[k][j];
373                 nNodeIndex[j] = k;     //将下标为k的顶点存入adjvex
374             }
375         }
376         //打印当前顶点状况
377         printf("坐标点数组为：");
378         for(j = 0;j< pArray->numVertexes;j++)
379         {
380             printf("%3d ",nNodeIndex[j]);
381         }
382         printf("
");
383         printf("权重数组为：");
384         for(j = 0;j< pArray->numVertexes;j++)
385         {
386             printf("%3d ",nNodeWeight[j]);
387         }
388         printf("
");
389     }
390 
391 }
392 //Kruskal算法(克鲁斯卡尔）
393 void GraphData::MiniSpanTree_Kruskal(GraphArray *pArray)
394 {
395     int i,n,m;
396     int parent[MAXVEX];    //定义边集数组
397     Edge edges[MAXVEX];    //定义一数组用来判断边与边是否形成环
398     //邻接矩阵转为边集数组，并按照权值大小排序
399     GraphToEdges(pArray,edges);
400 
401     for (i =0; i< pArray->numVertexes;i++)
402     {
403         parent[i] = 0;    //初始化数组数值为0
404         
405     }
406 
407     //算法关键实现
408     for (i = 0;i < pArray->numVertexes;i++)    //循环每条边
409     {
410         //根据边集数组，查找出不为0的边
411         n = FindLastLine(parent,edges[i].begin);
412         m = FindLastLine(parent,edges[i].end);
413         printf("边%d的开始序号为：%d，结束为:%d)",i,n,m);
414         if(n != m)      //假如n与m不等，说明此边没有与现有生成树形成环路
415         {
416             parent[n] = m;  //将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中
417             //表示此顶点已经在生成树集合中
418             printf("(%d,%d) %d ", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
419         }
420     }
421     printf("
");
422 }
423 #pragma endregion
424 
425 #pragma region 最短路径
426 //Dijkstra算法
427 void GraphData::ShortPath_Dijkstra(GraphArray *pArray)
428 {
429     //Dijkstra算法和最小生成树的算法，在某种程度是相似的
430     int min,i,j,k;
431     int nNodeIndex[MAXVEX];      //保存相关顶点坐标，1就是已经遍历访问的过结点(在最小生成树中为数值表示遍历过同时值与坐标是一条边）
432     int nNodeWeight[MAXVEX];     //保存某个顶点到各个顶点的权值，为不为0和最大值表示遍历过了。
433     int nPathLength[MAXVEX];     //坐标和元素表示为同时值和坐标表示一边，与Primes有相同的
434     //两个数组的初始化
435     printf("开始初始化，当前顶点边的权值为：");
436     for(i = 0;i<pArray->numVertexes;i++)
437     {
438         nNodeIndex[i] = 0; 
439         nNodeWeight[i] = pArray->arg[0][i];//设定在矩阵中第一个顶点为初始点。
440         nPathLength[i] = 0;
441         printf(" %c",nNodeWeight[i]);
442     }
443     nNodeWeight[0] = 0;  //选取坐标点0为起始点。
444     nNodeIndex[0] = 1;  //这样0就是起始点，设为1.（和Prime的不同）
445     //算法思想
446     for (i = 1;i< pArray->numVertexes;i++)
447     {
448         min = INFINITY;    //初始化权值为最大值;
449         j = 1;
450         k = 0;
451         // 循环全部顶点，寻找与初始点边权值最小的顶点，记下权值和坐标
452         while(j < pArray->numVertexes)
453         {
454             //如果权值不为0,且权值小于min,为0表示本身
455             if (!nNodeIndex[j]&&nNodeWeight[j] < min)  //这里Prime是权重中不为0,
456             {
457                 min     = nNodeWeight[j];
458                 k = j;     //保存上述顶点的坐标值
459             }
460             j++;
461         }
462         printf("当前顶点边中权值最小边(%d,%d)
",nNodeIndex[k] , k); //打印当前顶点边中权值最小
463         //nNodeWeight[k] = 0; //将当前顶点的权值设置为0，表示此顶点已经完成任务
464         nNodeIndex[k] = 1;     //将目前找到的最近的顶点置为1
465 
466         //for (j = 1;j< pArray->numVertexes;j++)  //循环所有顶点，查找与k顶点的最小边
467         //{
468         //    //若下标为k的顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入的生成树权值
469         //    if (nNodeWeight[j] != 0&&pArray->arg[k][j] < nNodeWeight[j])
470         //    {
471         //        nNodeWeight[j] = pArray->arg[k][j];
472         //        nNodeIndex[j] = k;     //将下标为k的顶点存入adjvex
473         //    }
474         //}
475         //修正当前最短路径及距离
476         for (j = 1;j< pArray->numVertexes;j++)  //循环所有顶点，查找与k顶点的最小边
477         {
478             //若下标为k的顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入的生成树权值
479             if (!nNodeIndex[j] && pArray->arg[k][j] + min< nNodeWeight[j])
480             {
481                 nNodeWeight[j] = pArray->arg[k][j] + min;
482                 nPathLength[j] = k;     //将下标为k的顶点存入adjvex
483             }
484         }
485         //打印当前顶点状况
486         printf("坐标点数组为：");
487         for(j = 0;j< pArray->numVertexes;j++)
488         {
489             printf("%3d ",nPathLength[j]);
490         }
491         printf("
");
492         printf("权重数组为：");
493         for(j = 0;j< pArray->numVertexes;j++)
494         {
495             printf("%3d ",nNodeWeight[j]);
496         }
497         printf("
");
498     }
499 
500 }
501 //Floyd算法
502 void GraphData::ShortPath_Floyd(GraphArray *pArray)
503 {
504     int i,j,m,k;
505     int nNodeIndex[MAXVEX][MAXVEX];
506     int nNodeWeight[MAXVEX][MAXVEX];
507     
508     for ( i = 0;i< pArray->numVertexes;i++)
509     {
510         for (j = 0;j< pArray->numVertexes;j++)
511         { 
512             nNodeIndex[i][j] = j;                         /* 初始化 */
513             nNodeWeight[i][j] = pArray->arg[i][j];  /* [i][j]值即为对应点间的权值 */
514         }
515     }
516     for (i = 0;i< pArray->numVertexes;i++)
517     {
518         for (j = 0;j< pArray->numVertexes;j++)
519         {
520             for (k = 0;k<pArray->numVertexes;k++)
521             {
522                 if (pArray->arg[j][k] > pArray->arg[j][i] + pArray->arg[i][k])
523                 {
524                     /* 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短 */
525                     nNodeWeight[j][k] = pArray->arg[j][i] + pArray->arg[i][k];  /* 将当前两点间权值设为更小的一个 */
526                     nNodeIndex[j][k] = nNodeIndex[j][i];  /* 路径设置为经过下标为k的顶点 */
527                 }
528             }
529         }
530     }
531     for (i = 0; i< pArray->numVertexes;i++)
532     {
533         for (j = 0;j< pArray->numVertexes;j++)
534         {
535             printf("v%d-v%d weight: %d",i,j,nNodeWeight[i][j]);
536                 m = nNodeIndex[i][j];    //获得第一个路径点的顶点下标
537             printf("path :%d",i);    //打印源点
538             while(m!=j)
539             {
540                 printf(" -> %d",m);   //打印路径顶点
541                 m = nNodeIndex[m][j];   //获取下一个路径顶点下标
542             }
543             printf(" -> %d
",m);    //打印路径终点。
544         }
545 
546         printf("
");
547     }
548 }
549 #pragma endregion
550 
551 #pragma region 拓扑排序、关键路径
552 void GraphData::CreateGraphListAdv(GraphListAdv* pList,int numVer,int numEdegs)
553 {
554     int weight = 0;
555     GraphListAdv *pGraphList = pList;
556     pGraphList->numVertess = numVer;
557     pGraphList->numEdges = numEdegs;
558     EdgeNode* firstNode,*secondNode;
559     //创建顶点表
560     for (int i= 0; i < numVer;i++)
561     {
562         pGraphList->vertexList[i].nNodeData = getchar();
563         pGraphList->vertexList[i].pFirstNode = NULL;
564         while(pGraphList->vertexList[i].nNodeData == '
')
565         {
566             pGraphList->vertexList[i].nNodeData = getchar();
567         }
568     }
569 
570     //创建边表    
571     for(int k = 0; k < pGraphList->numEdges; k++)
572     {
573         char p, q;
574         printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:
");
575 
576         p = getchar();
577         while(p == '
')
578         {
579             p = getchar();
580         }
581         q = getchar();
582         while(q == '
')
583         {
584             q = getchar();
585         }
586         scanf("%d", &weight);    
587 
588         int m = -1;
589         int n = -1;
590         m = GetGraphAdvListLocation(pGraphList, p);
591         n = GetGraphAdvListLocation(pGraphList, q);
592         if(n == -1 || m == -1)
593         {
594             fprintf(stderr, "there is no this vertex.
");
595             return;
596         }
597         //getchar();
598         //字符p在顶点表的坐标为m，与坐标n的结点建立联系权重为weight
599         firstNode = new EdgeNode();
600         firstNode->nNodevex = n;
601         firstNode->next = pGraphList->vertexList[m].pFirstNode;
602         pGraphList->vertexList[n].in++;
603         firstNode->nNodeWeight = weight;
604         pGraphList->vertexList[m].pFirstNode = firstNode;
605 
606         ////第二个字符second
607         //secondNode = new EdgeNode();
608         //secondNode->nNodevex = m;
609         //secondNode->next = pGraphList->vertexList[n].pFirstNode;
610         //pGraphList->vertexList[n].in++;
611         //secondNode->nNodeWeight = weight;
612         //pGraphList->vertexList[n].pFirstNode = secondNode;
613 
614     }
615 }
616 void GraphData::TopoLogicalSort(GraphListAdv *pList)
617 {
618     EdgeNode *e;
619     int ncount = 0;  //统计输出顶点个数，用于判断是否有环
620     int nIndex ; // y用于保存度为0的坐标
621     stack<int> staNode;
622     for (int i = 0;i < pList->numVertess; i++)
623     {
624         if (pList->vertexList[i].in == 0)
625         {
626             staNode.push(i);    //将入度为0的顶点入栈
627         }
628     }
629     while(!staNode.empty())
630     {
631         nIndex = staNode.top();  // 获取入度为0的顶点
632         staNode.pop();     //出栈
633         printf("%c ->",pList->vertexList[nIndex].nNodeData);  //打印顶点
634         ncount ++;
635         //对此顶点的处理：下一个顶点入度减1，如果为0还要进栈
636         for (e = pList->vertexList[nIndex].pFirstNode;e;e = e->next)
637         {
638             //对此顶点弧表遍历
639             int temp = e->nNodevex;
640             //将temp号顶点邻接点的入度减1,若为0，则入栈，以便于下次循环输出
641             if (!(--pList->vertexList[temp].in))
642             {
643                 staNode.push(temp);
644             }
645         }
646     }
647     if (ncount < pList->numVertess)
648     {
649         printf(" 图有内环");
650     }
651 
652 }
653 //改进的拓扑排序，用于关键路径算法
654 void GraphData::TopoLogicalSortAdv(GraphListAdv *pList)
655 {
656     EdgeNode *e;
657     int ncount = 0;  //统计输出顶点个数，用于判断是否有环
658     int nIndex ; // y用于保存度为0的坐标
659     stack<int> staNode;
660     
661     for (int i = 0;i < pList->numVertess; i++)
662     {
663         if (pList->vertexList[i].in == 0)
664         {
665             staNode.push(i);    //将入度为0的顶点入栈
666         }
667     }
668     memset(this->veArray,0,pList->numVertess);    
669 
670     while(!staNode.empty())
671     {
672         nIndex = staNode.top();  // 获取入度为0的顶点
673         staNode.pop();     //出栈
674         staEtv.push(nIndex);   //将弹出的顶点序号压入拓扑序列堆栈
675         printf("%c ->",pList->vertexList[nIndex].nNodeData);  //打印顶点
676         ncount ++;
677         //对此顶点的处理：下一个顶点入度减1，如果为0还要进栈
678         for (e = pList->vertexList[nIndex].pFirstNode;e;e = e->next)
679         {
680             //对此顶点弧表遍历
681             int temp = e->nNodevex;
682             //将temp号顶点邻接点的入度减1,若为0，则入栈，以便于下次循环输出
683             if (!(--pList->vertexList[temp].in))
684             {
685                 staNode.push(temp);
686             }
687             //求取各个顶点的事件最早发生时间。
688             if (veArray[nIndex] + e->nNodeWeight > veArray[temp])
689             {
690                 veArray[temp] = veArray[nIndex] + e->nNodeWeight;
691             }
692         }
693     }
694     if (ncount < pList->numVertess)
695     {
696         printf(" 图有内环");
697     }
698 }
699 //关键路径算法
700 void GraphData::CriticalPath(GraphListAdv *pList)
701 {
702     EdgeNode *node;
703     int i,j,top,k;
704     int ete,lte;
705     TopoLogicalSortAdv(pList);
706     for (i = 0; i< pList->numVertess;i++)
707     {
708         vlArray[i] = veArray[i];    //初始化vl
709     }
710 
711     while(!staEtv.empty())
712     {
713         top = staEtv.top();
714         staEtv.pop();
715         for (node = pList->vertexList[top].pFirstNode;node;node = node->next)
716         {
717             k = node->nNodevex;
718             if (vlArray[k] - node->nNodeWeight < vlArray[top])  //求取顶点事件的最晚发生时间
719             {
720                 vlArray[top] = vlArray[k] + node->nNodeWeight; 
721             }
722 
723         }
724         
725     }
726     //求取关键路径        
727     for (i = 0;i < pList->numVertess;i++)
728     {
729         for (node = pList->vertexList[i].pFirstNode; node;node = node->next)
730         {
731             k = node->nNodevex;
732             ete = veArray[k];
733             lte = vlArray[k];
734             if (ete == lte)
735             {
736                 printf("<v%c,v%c> length: %d,  ",pList->vertexList[i].nNodeData,pList->vertexList[k].nNodeData,node->nNodeWeight);
737             }
738         }
739     }
740 
741 }
742 #pragma endregion
743 #pragma region 私有方法
744 
745 //查找连线顶点尾部
746 int GraphData::FindLastLine(int *parent,int f)
747 {
748     while(parent[f] >0)
749     {
750         f = parent[f];
751     }
752     return f;
753 }
754 //直接插入排序
755 void GraphData::InsertSort(Edge *pEdge,int k)
756 {
757     Edge *itemEdge = pEdge;
758     Edge item;
759     int i,j;
760     for (i = 1;i<k;i++)
761     {
762         if (itemEdge[i].weight < itemEdge[i-1].weight)
763         {
764             item = itemEdge[i];
765             for (j = i -1; itemEdge[j].weight > item.weight ;j--)
766             {
767                 itemEdge[j+1] = itemEdge[j];
768             }
769             itemEdge[j+1] = item;
770         }
771     }
772 }
773 //将邻接矩阵转化为边集数组
774 void GraphData::GraphToEdges(GraphArray *pArray,Edge *pEdge)
775 {
776     int i;
777     int j;
778     int k;
779 
780     k = 0;
781     for(i = 0; i < pArray->numVertexes; i++)
782     {
783         for(j = i; j < pArray->numEdges; j++)
784         {
785             if(pArray->arg[i][j] < 65535)
786             {
787                 pEdge[k].begin = i;
788                 pEdge[k].end = j;
789                 pEdge[k].weight = pArray->arg[i][j];
790                 k++;
791             }
792         }
793     }
794 
795     printf("k = %d
", k);
796     printf("边集数组排序前，如下所示.
");  
797     printf("edges[]     beign       end     weight
");
798     for(i = 0; i < k; i++)
799     {
800         printf("%d", i);
801         printf("        %d", pEdge[i].begin);
802         printf("        %d", pEdge[i].end);
803         printf("        %d", pEdge[i].weight);
804         printf("
");
805     }
806 
807 
808     //下面进行排序
809     InsertSort(pEdge, k);
810 
811     printf("边集数组排序后，如下所示.
");
812     printf("edges[]     beign       end     weight
");
813     for(i = 0; i < k; i++)
814     {
815         printf("%d", i);
816         printf("        %d", pEdge[i].begin);
817         printf("        %d", pEdge[i].end);
818         printf("        %d", pEdge[i].weight);
819         printf("
");
820     }
821 
822 }
823 #pragma endregion

图相关算法源文件

 1 #include <iostream>
 2 #include "GraphData.h"
 3 using namespace std;
 4 //
 5 
 6 void PrintGrgph(GraphList *pGraphList)
 7 {
 8     int i =0;
 9     while(pGraphList->vertexList[i].pFirstNode != NULL && i<MAXVEX)
10     {
11         printf("顶点:%c  ",pGraphList->vertexList[i].nNodeData);
12         EdgeNode *e = NULL;
13         e = pGraphList->vertexList[i].pFirstNode;
14         while(e != NULL)
15         {
16             printf("%d  ", e->nNodevex);
17             e = e->next;
18         }
19         i++;
20         printf("
");
21     }
22     
23 }
24 int main()
25 {
26     int numVexs,numEdges;
27     GraphData* pTestGraph = new GraphData();
28     GraphArray graphArray;
29     GraphArray* pGraphArray = &graphArray;
30     GraphList* pGgraphList = new GraphList();
31     GraphListAdv *pGraphListAdv = new GraphListAdv();
32     
33     cout<<"输入顶点数和边数"<<endl;
34     cin>>numVexs>>numEdges;
35     cout<<"顶点数和边数为："<<numVexs<<numEdges<<endl;
36     pTestGraph->CreateGraphListAdv(pGraphListAdv,numVexs,numEdges);
37     //pTestGraph->CreateGraphArray(pGraphArray,numVexs,numEdges);
38     //pTestGraph->MiniSpanTree_Prime(pGraphArray);
39     printf("构建的邻接矩阵如下所示.
");
40     /*for(int i = 0; i< numEdges;i++)
41     {
42         for (int j = 0;j< numEdges;j++)
43         {
44             printf("%5d  ", pGraphArray->arg[i][j]);
45         }
46         cout<<endl;
47     }*/
48     //pTestGraph->MiniSpanTree_Kruskal(pGraphArray);
49     /*pTestGraph->CreateGraphList(pGgraphList,numVexs,numEdges);
50     PrintGrgph(pGgraphList);*/
51     //pTestGraph->ShortPath_Dijkstra(pGraphArray);
52     //pTestGraph->ShortPath_Floyd(pGraphArray);
53     pTestGraph->CriticalPath(pGraphListAdv);
54     system("pause");
55 }

测试程序