圆锥曲线：椭圆小题解题报告

注意事项：

由于本人水平有限，可能存在Markdown崩坏，部分题目解题方法可能非最优解，如有更好方法欢迎在评论区指正。
部分题目解答可能过于口语化，导致并不符合官方（人教版教材）的要求，请各位在考试中不要学习，使用正确的，符合要求的用语。
本文中可能存在错别字，望发现者在评论区指正。
本篇博客是为记录本人在完成学校作业的过程中遇到的问题，同时给部分同学作为解题参考用。
本篇博客中绘制图像的工具是geogebra。
目录
- 圆锥曲线：椭圆小题解题报告

1~10题：

1

题目：

已知F₁,F₂是椭圆(x^2/4+y^2/3=1)的两个焦点，点P在椭圆上。

（1）若点P到焦点F₁的距离等于1，则点P到焦点F₂的距离为（）

（2）过F₁做直线与椭圆交于A，B两点，则(Delta)ABF₂的周长为（）

（3）(angle)PF₁F₂=120^。,则点P到焦点F₁的距离为（）

解答：

根据方程容易得出a=2，b=1；因为P在椭圆上，则点P到焦点F₂，F₁的距离为2a=4；而PF₁=1，所以PF₂=3。

由题意易得(Delta)ABF₂的周长为4a=8.

因为(angle)PF₁F₂=120^。，所以得到方程(cosangle)PF₁F₂=((PF~1~^2+(2a-PF1^2)-F1F2^2)/2*PF1*(2a-PF2)),解出来PF₁=(sqrt{3}/3).

~~其实可以猜一下，此时P点和椭圆上定点重合，算出来是对的。~~

2

题目：

已知椭圆C：(x^2/25+y^2/m^2=1（m>0）)的左右焦点分别为F₁,F₂,点P在C上，且(Delta)PF₁F₂的周长为16，则m的值是（）

解答：

由题意得a=5，而(Delta)PF₁F₂的周长为16=2a+2c，所以c=3。(a^2-c^2=b^2),所以b²=m²=16,m=4.

3

题目：

椭圆以x轴，和y轴位对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴的两倍，则椭圆方程（）

解答：

由题意得a=2b.若焦点在x轴上a=2b=1，椭圆方程为(x^2/4+y^2=1);

若焦点在y轴上，b=2a=4，椭圆方程为(x^2/4+y^2/16=1).

4

题目：

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F₂且垂直于x轴的直线交C于A，B两点,且(|AB|=3)，则椭圆的方程为（）

解答：

由题意得c=1，(|AB|=3=2b^2/a).

因为(b^2=a^2-c^2),所以(3=2(a^2-1)/a),解得a=2或a=-0.5（舍）。所以b=3。椭圆方程为(x^2/4+y^2/3=1).

5

题目：

已知椭圆的方程为(2x^2+3y^2=m(m>0)),则此椭圆的离心率为（）。

解答：

方程可变化为(2x^2/m+3y^2/m=1),所以(a^2/b^2=(2/m)/(3/m)),因为(e=sqrt{1-a^2/b^2}),所以(e=sqrt{5}/3).

6

题目：

已知椭圆(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0))的两焦点分别为F₁,F₂，若椭圆上存在点P，使得(angle)F₁PF₂=120^。,则椭圆离心率的取值范围（）

解答：

当P在椭圆上，下顶点上时(angle)F₁PF₂最大，不妨设上顶点为A。为了满足(angle)F₁PF₂=120^。,(angle)F₁AF₂>=120^。,(angle)F₁AO>=60^。,所以(tanangle F~1~AO= c/a>= sqrt{3}/2);则(ein[sqrt3/2,1]).

7

题目：

已知F₁F₂是椭圆C：(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0))的左右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为(sqrt{3}/6),的直线上，(Delta)PF₁F₂为等腰三角形，(angle)F₁F₂P=120^。，则C的离心率为（）

解答：

设A（-a，0）,F₁(-c,0),F₂(c,0)，所以直线AP的方程为(y=sqrt{3}/6*x+sqrt{3}/6*a),

由题意得|PF₂|=|F₁F₂|=2c,所以P（2c，(sqrt{3}c)）;

代入直线方程可得a=4c；所以e=1/4；

8

题目：

已知椭圆C：(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0))的左右顶点A₁,A₂,且以线段A₁A₂为直径的圆与直线bx-ax+2ab=0相切，则C的离心率为（）

解答：

由题意得直线到圆心的距离(d=|2ab|/sqrt{(a^2+b^2)}=a),所以(a^2/b^2=3),(e=sqrt{1-b^2/a^2}=sqrt{6}/3).

9

题目：

已知椭圆C的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），过F₂的直线与c交于A，B两点，若|AF₂|=2|F₂B|，|AB|=|BF₁|,则C的方程为（）

A.(x^2/2+y^2=1) B.(x^2/3+y^2/2=1) C.(x^2/4+y^2/3=1) D.(x^2/5+y^2/4=1)

解答：

|BF₁|+|F₂B|=2a，由题意得|AB|+|BF₂|=2a$Rightarrow$4|BF₂|=2a;

所以|AF₁|=|AF₂|=a，所以A为短轴端点，(cosangle AF2O=1/a),

(cosangle BF1F2=(4+(a/2)^2-(3a/2)^2)/2a=(2-a^2)/a)

因为(angle AF2O+angle BF1F2=pi),

所以(cosangle AF2O+cosangle BF1F2=0).

(1/a+(2-a^2)/a=0Rightarrow a=sqrt{3}).

所以b²=2,

故选B。

10

题目：

已知椭圆(X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0))的离心率为1/2，则（）

A，a²=2b² B,3a²=4b² C,a=2b D,3a=4b

解答：

(e=sqrt{1-b^2/a^2}=1/2Rightarrow b^2/a^2=3/4 Rightarrow 3a^2=4b^2).

故选B。

11

题目：

曲线C：(x^2+y^2=1+|x|y),如图，给出下面三个结论：

曲线C恰好经过6个整点（即横纵坐标均为整数的点）；
曲线C上任一一点到原点的距离都不超过(sqrt{2});
曲线C所围成的“心形”区域面积小于3.

其中正确结论的序号是（）

解答：

将x换成-x方程不变，所以图像关于y轴对称，当x=0时代入得y²，y=+1或-1，即曲线过（0，1），（0.-1）；当x>0时，方程变为(y^2-xy+x^2-1=0),所以(Delta=x^2-4(x^2-1)>=0),解得(xin(0,2sqrt{3}/3]),所以x只能取整数1，当x=1时，y=0或1，曲线过（1，1），（1，0）；由对称性得曲线还过（-1，1）和（-1，0），故1正确。

当x>0时，因为(x^2+y^2=1+xy),得(x^2+y^2-1=xy<=(x^2+y^2)/2（iff x=y时取等）)，所以(x^2+y^2<=2),易得曲线C上任意一点到原点距离不超过(sqrt{2}),故2正确。

S_心>=(2*1+1*2*0.5>=3),故3错误。

12

题目：

已知椭圆(x^2/9+y^2/5=1)的左焦点F，点P在椭圆上且在x轴上方，若线段PF的中点以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是（）。

解答：

由题意得圆的方程为(x^2+y^2=4).设直线PF方程为y=kx+b，P（m，n）。则PF中点M为（(（m-2)/2)，((km+b)/2))。

M点在圆上，所以((m-2)^2/4+n^2/2=4);M在椭圆上，所以(m^2/9+y^2/5=1).

所以(4m^2-36m-63=0 Rightarrow m=-3/2或 m=21/2(舍))。

k_PF=((sqrt{15}/2-0)/(-3/2-(-2))=sqrt{15}).

其实还有一种解法，我会补上的~~（咕咕咕）~~

13

题目：

设F₁，F₂为椭圆C：(X^2/36+y^2/20=1)两个焦点，M为C上一点且在第一象限。若(Delta)MF₁F₂为等腰三角形，则M的坐标为（）

解答：

设M（m,n）（m>0,n>0）;F₁F₂=8。(a=6,b=2sqrt{5},c=4,e=c/a=2/3).

因为M在第一象限，可得|MF₁|>|MF₂|，

可能|MF₁|=2c，或|MF₂|=2c。

即(6+2m/3=8 Rightarrow m=3 or 6-2m/3=8 Rightarrow m=-3(舍))。

所以M((3,sqrt{15}))。

14

题目：

已知椭圆(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0))的离心率为(sqrt{5}/3),椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（）。

解答：

由题意得2a=12,a=6;(e=sqrt{1-b^2/a^2}=sqrt{5}/3 Rightarrow b=4),2b=8.

此时憨憨plz意识到可以拿手机拍另外一张空白的卷子，而不是手打。

15~19题

15

题目:

点P（0，1），椭圆 (x^2/4+y^2=m(m>1))上两点A，B满足(overrightarrow{AP}=2overrightarrow{PB}),则当m=（）时点B横坐标的绝对值最大。

解答：

设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂);

-x₁=2x₂,1-y₁=2（y₂-1),

因为$x1^2+4y12=4m $ (x2^2+4y2^2=4m) ;所以((y1-2y2)(y1+2y2)=-3m Rightarrow y1-2y2=-m Rightarrow y1=(3-m)/2,y2=(3+m)/4);

则(m=x2^2+((3-m)/2)^2=(-m^2+10m-9)/4)

即m=5时，B横坐标绝对值最大。

16

题目：

已知椭圆C：(x^2/4+y^2=1)上的三点A，B，C，斜率为负数的直线BC与y轴交与M，若原点O是(Delta)

ABC的重心，且(Delta)BMA与(Delta)CMO的面积之比为3/2，则直线BC的斜率为()

解答：

设B（x₁,y₁)，C（x₂,y₂),M(0,m),A（x₃,y₃),直线BC方程为y=kx+m

因为O是(Delta)ABC的重心；所以(Delta)BMA与(Delta)CMO的高之比为3.

因为(Delta)BMA与(Delta)CMO的面积之比为3/2，则2BM=MC.

即(2overrightarrow{BM}=overrightarrow{MC},Rightarrow 2x1+x2=0)

联立(egin{cases} y=kx+m\x^2+4y^2=4end{cases}Rightarrow(4k^2+1)x^2+8mkx+4m^2-4=0).

(x1+x2=-8km/(1+4k^2),x1x2=(4m^2-4)/(1+4k^2))

所以(36k^2m^2=1-m^2+4k^2)

因为原点O是(Delta)ABC的重心，所以(x3=-(x1+x2)=8km/(1+4k^2),y3=-(y2+y1)=-[k(x1+x2)+2m]=-2m/(1+4k^2)).

因为(x3^2+4y3^2=4) ,所以((8km/(1+4k^2))^2+4(-2m/(1+4k^2))^2 Rightarrow 1+4k^2=4m^2)

得到(k^2=1/12) 因为k<0,所以k=(-sqrt{3}/6).

17

解答：

由直线l为(angle)F₁PF₂的外角平分线l垂直于F₂M，可得|PM|=|PF₂|

a=5；2a=|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PM|=|F₁M|=10

18

解答：

19

解答：

由题意得|PF₂|的max为a+c=9，min为a-c=1；

所以a=5，c=4；

e=c/a=4/5

20~29题

20

解答：

由题意得直线AB和(4x-2y-3=0)垂直，设直线AB方程为(y=-x/2+m),与椭圆方程联立得(x^2-2mx+2m^2-2=0),由题意得(Delta=4m^2-4(2m^2-2)>0,则有m^2<2),设A(x₁，y₁)，B（x₂,y₂)，因为x₁+x₂=2m,所以线段AB中点D（m，m/2），D在直线(4x-2y-3=0)上，代入得m=1，所以(|overrightarrow{OD}|=sqrt{5}/2),(|overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}|=2|overrightarrow{OD}|=sqrt{5}).

为了避免不必要的Markdown崩坏，下面的题目解答将现在Typora上编辑完成后，生成正确预览，再截图保存，使用图片的形式呈现。