在SVM的前三篇里，我们优化的目标函数最终都是一个关于$alpha$向量的函数。而怎么极小化这个函数，求出对应的$alpha$向量，进而求出分离超平面我们没有讲。本篇就对优化这个关于$alpha$向量的函数的SMO算法做一个总结。
1. 回顾SVM优化目标函数
我们首先回顾下我们的优化目标函数：$$ underbrace{ min }_{alpha} frac{1}{2}sumlimits_{i=1,j=1}^{m}alpha_ialpha_jy_iy_jK(x_i,x_j) - sumlimits_{i=1}^{m}alpha_i $$ $$ s.t. ; sumlimits_{i=1}^{m}alpha_iy_i = 0 $$ $$0 leq alpha_i leq C$$
我们的解要满足的KKT条件的对偶互补条件为：$$alpha_{i}^{*}(y_i(w^Tx_i + b) - 1 + xi_i^{*}) = 0$$
根据这个KKT条件的对偶互补条件，我们有：$$alpha_{i}^{*} = 0 Rightarrow y_i(w^{*} ullet phi(x_i) + b) geq 1 $$ $$ 0 <alpha_{i}^{*} < C Rightarrow y_i(w^{*} ullet phi(x_i) + b) = 1 $$ $$alpha_{i}^{*}= C Rightarrow y_i(w^{*} ullet phi(x_i) + b) leq 1$$
由于$w^{*} = sumlimits_{j=1}^{m}alpha_j^{*}y_jphi(x_j)$,我们令$g(x) = w^{*} ullet phi(x) + b =sumlimits_{j=1}^{m}alpha_j^{*}y_jK(x, x_j)+ b^{*}$，则有： $$alpha_{i}^{*} = 0 Rightarrow y_ig(x_i) geq 1 $$ $$ 0 < alpha_{i}^{*} < C Rightarrow y_ig(x_i) = 1 $$ $$alpha_{i}^{*}= C Rightarrow y_ig(x_i) leq 1$$
2. SMO算法的基本思想
上面这个优化式子比较复杂，里面有m个变量组成的向量$alpha$需要在目标函数极小化的时候求出。直接优化时很难的。SMO算法则采用了一种启发式的方法。它每次只优化两个变量，将其他的变量都视为常数。由于$sumlimits_{i=1}^{m}alpha_iy_i = 0$.假如将$alpha_3, alpha_4, ..., alpha_m$ 固定，那么$alpha_1, alpha_2$之间的关系也确定了。这样SMO算法将一个复杂的优化算法转化为一个比较简单的两变量优化问题。
为了后面表示方便，我们定义$K_{ij} = phi(x_i) ullet phi(x_j)$
由于$alpha_3, alpha_4, ..., alpha_m$都成了常量，所有的常量我们都从目标函数去除，这样我们上一节的目标优化函数变成下式：$$;underbrace{ min }_{alpha_1, alpha_1} frac{1}{2}K_{11}alpha_1^2 + frac{1}{2}K_{22}alpha_2^2 +y_1y_2K_{12}alpha_1 alpha_2 -(alpha_1 + alpha_2) +y_1alpha_1sumlimits_{i=3}^{m}y_ialpha_iK_{i1} + y_2alpha_2sumlimits_{i=3}^{m}y_ialpha_iK_{i2}$$ $$s.t. ;;alpha_1y_1 + alpha_2y_2 = -sumlimits_{i=3}^{m}y_ialpha_i = varsigma $$ $$0 leq alpha_i leq C ;; i =1,2$$
3. SMO算法目标函数的优化
为了求解上面含有这两个变量的目标优化问题，我们首先分析约束条件，所有的$alpha_1, alpha_2$都要满足约束条件，然后在约束条件下求最小。
根据上面的约束条件$alpha_1y_1 + alpha_2y_2 = varsigma;;0 leq alpha_i leq C ;; i =1,2$，又由于$y_1,y_2$均只能取值1或者-1, 这样$alpha_1, alpha_2$在[0,C]和[0,C]形成的盒子里面，并且两者的关系直线的斜率只能为1或者-1，也就是说$alpha_1, alpha_2$的关系直线平行于[0,C]和[0,C]形成的盒子的对角线，如下图所示：
由于$alpha_1, alpha_2$的关系被限制在盒子里的一条线段上，所以两变量的优化问题实际上仅仅是一个变量的优化问题。不妨我们假设最终是$alpha_2$的优化问题。由于我们采用的是启发式的迭代法，假设我们上一轮迭代得到的解是$alpha_1^{old}, alpha_2^{old}$，假设沿着约束方向$alpha_2$未经剪辑的解是$alpha_2^{new,unc}$.本轮迭代完成后的解为$alpha_1^{new}, alpha_2^{new}$
由于$alpha_2^{new}$必须满足上图中的线段约束。假设L和H分别是上图中$alpha_2^{new}$所在的线段的边界。那么很显然我们有：$$L leq alpha_2^{new} leq H $$
而对于L和H，我们也有限制条件如果是上面左图中的情况，则$$L = max(0, alpha_2^{old}-alpha_1^{old}) ;;;H = min(C, C+alpha_2^{old}-alpha_1^{old})$$
如果是上面右图中的情况，我们有：$$L = max(0, alpha_2^{old}+alpha_1^{old}-C) ;;; H = min(C, alpha_2^{old}+alpha_1^{old})$$
也就是说，假如我们通过求导得到的$alpha_2^{new,unc}$，则最终的$alpha_2^{new}$应该为：
$$alpha_2^{new}=
egin{cases}
H& { alpha_2^{new,unc} > H}\
alpha_2^{new,unc}& {L leq alpha_2^{new,unc} leq H}\
L& {alpha_2^{new,unc} < L}
end{cases}$$
那么如何求出$alpha_2^{new,unc}$呢？很简单，我们只需要将目标函数对$alpha_2$求偏导数即可。
首先我们整理下我们的目标函数。
为了简化叙述，我们令$$E_i = g(x_i)-y_i = sumlimits_{j=1}^{m}alpha_j^{*}y_jK(x_i, x_j)+ b - y_i$$，
其中$g(x)$就是我们在第一节里面的提到的$$g(x) = w^{*} ullet phi(x) + b =sumlimits_{j=1}^{m}alpha_j^{*}y_jK(x, x_j)+ b^{*}$$
我们令$$v_i = sumlimits_{j=3}^{m}y_jalpha_jK(x_i,x_j) = g(x_i) - sumlimits_{j=1}^{2}y_jalpha_jK(x_i,x_j) -b $$
这样我们的优化目标函数进一步简化为：$$W(alpha_1,alpha_2) = frac{1}{2}K_{11}alpha_1^2 + frac{1}{2}K_{22}alpha_2^2 +y_1y_2K_{12}alpha_1 alpha_2 -(alpha_1 + alpha_2) +y_1alpha_1v_1 + y_2alpha_2v_2$$
由于$alpha_1y_1 + alpha_2y_2 = varsigma $，并且$y_i^2 = 1$，可以得到$alpha_1用 alpha_2$表达的式子为：$$alpha_1 = y_1(varsigma - alpha_2y_2)$$
将上式带入我们的目标优化函数，就可以消除$alpha_1$,得到仅仅包含$alpha_2$的式子。$$W(alpha_2) = frac{1}{2}K_{11}(varsigma - alpha_2y_2)^2 + frac{1}{2}K_{22}alpha_2^2 +y_2K_{12}(varsigma - alpha_2y_2) alpha_2 - (varsigma - alpha_2y_2)y_1 - alpha_2 +(varsigma - alpha_2y_2)v_1 + y_2alpha_2v_2$$
忙了半天，我们终于可以开始求$alpha_2^{new,unc}$了，现在我们开始通过求偏导数来得到$alpha_2^{new,unc}$。
$$frac{partial W}{partial alpha_2} = K_{11}alpha_2 + K_{22}alpha_2 -2K_{12}alpha_2 - K_{11}varsigma y_2 + K_{12}varsigma y_2 +y_1y_2 -1 -v_1y_2 +y_2v_2 = 0$$
整理上式有：$$(K_{11} +K_{22}-2K_{12})alpha_2 = y_2(y_2-y_1 + varsigma K_{11} - varsigma K_{12} + v_1 - v_2)$$
$$ = y_2(y_2-y_1 + varsigma K_{11} - varsigma K_{12} + (g(x_1) - sumlimits_{j=1}^{2}y_jalpha_jK_{1j} -b ) -(g(x_2) - sumlimits_{j=1}^{2}y_jalpha_jK_{2j} -b))$$
将$ varsigma = alpha_1y_1 + alpha_2y_2 $带入上式，我们有：
$$(K_{11} +K_{22}-2K_{12})alpha_2^{new,unc} = y_2((K_{11} +K_{22}-2K_{12})alpha_2^{old}y_2 +y_2-y_1 +g(x_1) - g(x_2))$$
$$;;;; = (K_{11} +K_{22}-2K_{12}) alpha_2^{old} + y_2(E_1-E_2)$$
我们终于得到了$alpha_2^{new,unc}$的表达式：$$alpha_2^{new,unc} = alpha_2^{old} + frac{y_2(E_1-E_2)}{K_{11} +K_{22}-2K_{12})}$$
利用上面讲到的$alpha_2^{new,unc}$和$alpha_2^{new}$的关系式，我们就可以得到我们新的$alpha_2^{new}$了。利用$alpha_2^{new}$和$alpha_1^{new}$的线性关系，我们也可以得到新的$alpha_1^{new}$。
4. SMO算法两个变量的选择
SMO算法需要选择合适的两个变量做迭代，其余的变量做常量来进行优化，那么怎么选择这两个变量呢？
4.1 第一个变量的选择
SMO算法称选择第一个变量为外层循环，这个变量需要选择在训练集中违反KKT条件最严重的样本点。对于每个样本点，要满足的KKT条件我们在第一节已经讲到了： $$alpha_{i}^{*} = 0 Rightarrow y_ig(x_i) geq 1 $$ $$ 0 < alpha_{i}^{*} < C Rightarrow y_ig(x_i) =1 $$ $$alpha_{i}^{*}= C Rightarrow y_ig(x_i) leq 1$$
一般来说，我们首先选择违反$0 < alpha_{i}^{*} < C Rightarrow y_ig(x_i) =1 $这个条件的点。如果这些支持向量都满足KKT条件，再选择违反$alpha_{i}^{*} = 0 Rightarrow y_ig(x_i) geq 1 $ 和 $alpha_{i}^{*}= C Rightarrow y_ig(x_i) leq 1$的点。
4.2 第二个变量的选择
SMO算法称选择第二一个变量为内层循环，假设我们在外层循环已经找到了$alpha_1$, 第二个变量$alpha_2$的选择标准是让$|E1-E2|$有足够大的变化。由于$alpha_1$定了的时候,$E_1$也确定了，所以要想$|E1-E2|$最大，只需要在$E_1$为正时，选择最小的$E_i$作为$E_2$， 在$E_1$为负时，选择最大的$E_i$作为$E_2$，可以将所有的$E_i$保存下来加快迭代。
如果内存循环找到的点不能让目标函数有足够的下降， 可以采用遍历支持向量点来做$alpha_2$,直到目标函数有足够的下降， 如果所有的支持向量做$alpha_2$都不能让目标函数有足够的下降，可以跳出循环，重新选择$alpha_1$
4.3 计算阈值b和差值$E_i$
在每次完成两个变量的优化之后，需要重新计算阈值b。当$0 < alpha_{1}^{new} < C$时，我们有 $$y_1 - sumlimits_{i=1}^{m}alpha_iy_iK_{i1} -b_1 = 0 $$
于是新的$b_1^{new}$为：$$b_1^{new} = y_1 - sumlimits_{i=3}^{m}alpha_iy_iK_{i1} - alpha_{1}^{new}y_1K_{11} - alpha_{2}^{new}y_2K_{21} $$
计算出$E_1$为：$$E_1 = g(x_1) - y_1 = sumlimits_{i=3}^{m}alpha_iy_iK_{i1} + alpha_{1}^{old}y_1K_{11} + alpha_{2}^{old}y_2K_{21} + b^{old} -y_1$$
可以看到上两式都有$y_1 - sumlimits_{i=3}^{m}alpha_iy_iK_{i1}$，因此可以将$b_1^{new}$用$E_1$表示为：$$b_1^{new} = -E_1 -y_1K_{11}(alpha_{1}^{new} - alpha_{1}^{old}) -y_2K_{21}(alpha_{2}^{new} - alpha_{2}^{old}) + b^{old}$$
同样的，如果$0 < alpha_{2}^{new} < C$, 那么有：$$b_2^{new} = -E_2 -y_1K_{12}(alpha_{1}^{new} - alpha_{1}^{old}) -y_2K_{22}(alpha_{2}^{new} - alpha_{2}^{old}) + b^{old}$$
最终的$b^{new}$为：$$b^{new} = frac{b_1^{new} + b_2^{new}}{2}$$
得到了$b^{new}$我们需要更新$E_i$:$$E_i = sumlimits_{S}y_jalpha_jK(x_i,x_j) + b^{new} -y_i $$
其中，S是所有支持向量$x_j$的集合。
好了，SMO算法基本讲完了，我们来归纳下SMO算法。
5. SMO算法总结
输入是m个样本${(x_1,y_1), (x_2,y_2), ..., (x_m,y_m),}$,其中x为n维特征向量。y为二元输出，值为1，或者-1.精度e。
输出是近似解$alpha$
1)取初值$alpha^{0} = 0, k =0$
2)按照4.1节的方法选择$alpha_1^k$,接着按照4.2节的方法选择$alpha_2^k$，求出新的$alpha_2^{new,unc}$。$$alpha_2^{new,unc} = alpha_2^{k} + frac{y_2(E_1-E_2)}{K_{11} +K_{22}-2K_{12})}$$
3)按照下式求出$alpha_2^{k+1}$
$$alpha_2^{k+1}=
egin{cases}
H& {L leq alpha_2^{new,unc} > H}\
alpha_2^{new,unc}& {L leq alpha_2^{new,unc} leq H}\
L& {alpha_2^{new,unc} < L}
end{cases}$$
4)利用$alpha_2^{k+1}$和$alpha_1^{k+1}$的关系求出$alpha_1^{k+1}$
5)按照4.3节的方法计算$b^{k+1}$和$E_i$
6）在精度e范围内检查是否满足如下的终止条件：$$sumlimits_{i=1}^{m}alpha_iy_i = 0 $$ $$0 leq alpha_i leq C, i =1,2...m$$ $$alpha_{i}^{k+1} = 0 Rightarrow y_ig(x_i) geq 1 $$ $$ 0 <alpha_{i}^{k+1} < C Rightarrow y_ig(x_i) = 1 $$ $$alpha_{i}^{k+1}= C Rightarrow y_ig(x_i) leq 1$$
7)如果满足则结束，返回$alpha^{k+1}$,否则转到步骤2）。
SMO算法终于写完了，这块在以前学的时候是非常痛苦的，不过弄明白就豁然开朗了。希望大家也是一样。写完这一篇， SVM系列就只剩下支持向量回归了，胜利在望！
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