线性(欧拉)筛&欧拉函数

## 线性筛法 what is 线性筛？？就是基于最基本的筛法的优化。在基础的筛法上，我们发现有的数字会被重复筛，例如6既会被2枚举到也会被3枚举到，必然有重复运算。我们的做法就是让每一个数的最小因数筛。 **$FOR$ $EXAMPLE：$** 有一个数$2 * 2 * 3 * 5$ 有另一个数 $3 * 3 * 3* 5$ 那么第一个数枚举到3的话，筛到的数字是$2 * 2 * 3 * 3 * 5$ 但是在第二个数字再次枚举的时候枚举到2时也会枚举到$2 * 2 * 3 * 3 * 5$ 因此，维护这个最小质因数即可。怎么维护?? 当$i$ $mod$ $这个质因数$ $=0$ 说明是质因数，第一次枚举到就要$break$,这样就保证了一定会被最小素因数给筛。 ```cpp #include using namespace std; int main() { int n,cnt=0; int prime[10000]={};//用来存储素数 int Vis[10000]={};//用来判断是否是素数 cin>>n; for (int i=2;i<=n;i++) { if (Vis[i]==0) prime[++cnt]=i;//如果没有被标记过 for (int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)//用i去乘上每一个已经求过的素数 { Vis[i*prime[j]]=1;//标记素数 if (i%prime[j]==0) break;//下面再解释 } } for (int i=2;i<=n;i++) if (Vis[i]==0) cout<

一、欧拉函数概念

欧拉函数，是表示1~n中与n互质的元素的个数，记为$φ(n)$。

二、性质

如果n为某一素数p，显然$φ(p)$为p-1
如果n为某一素数的幂次，那么: $$\phi(p^a)=(p-1)*p {a-1}$$
我们可以来推导次函数的求法
我们先将n分解质因数得：

\[n=a1^{b1}*a2^{b2}*a3^{b3}*……*ak^{bk} \]

因为φ(n)求的是与n互质的数的个数，所以其中不能有n的因数，即不能出现a1,a2,a3……ak的倍数。
那么我们来转换思路，n个数之中存在多少个a1的倍数，多少个a2的倍数……多少个ak的倍数呢？
显然有n/a1个a1的倍数，n/a2个a2的倍数……有n/ak个ak的倍数。

所以$φ(n)=n-\frac{1}{a1} -\frac{1}{a2}-\frac{1}{a3}-……-\frac{1}{ak}$
将n提取出来得到：

\[φ(n)=n*(1-\frac{1}{a1})*(1-\frac{1}{a2})*(1-\frac{1}{a3})*……*(1-\frac{1}{ak}) \]

于是欧拉函数的公式就这么推导出来了

还有如下性质：

如果i mod p=0,那么$φ(i*p)=p*φ(i)$
证明：
对于公式$$φ(1)=n(1-\frac{1}{a1})(1-\frac{1}{a2})(1-\frac{1}{a3})……*(1-\frac{1}{ak})$$
得到

\[φ(n)=n*p*(1-\frac{1}{a1})*(1-\frac{1}{a2})*(1-\frac{1}{a3})*……*(1-\frac{1}{ak}) \]
因为p已经是i的因数，后半部分不需要添加
因此得证。
函数的积性，$φ(i*j)=φ(i)*φ(j)$
如果i mod p≠0，那么$φ(i*p)=φ(i)*(p-1)$
根据

\[φ(n)=n*(1-\frac{1}{a1})*(1-\frac{1}{a2})*(1-\frac{1}{a3})*……*(1-\frac{1}{ak}) \]

得到

\[φ(n)=n*p*(1-\frac{1}{a1})*(1-\frac{1}{a2})*(1-\frac{1}{a3})*……*(1-\frac{1}{ak})*(1-\frac{1}{p}) \]

因为p不是i的因数，因此最后要加上$(1-\frac{n}{ak})$部分。
证明完成。

三、求法

下面给两种求法。

$1$.公式法

根据公式$φ(n)=n*(1-\frac{1}{a1})*(1-\frac{1}{a2})*(1-\frac{1}{a3})*……*(1-\frac{1}{ak})*(1-\frac{1}{p})$

inline LL eular(LL x)
{
    LL sum=x,y=x;
    for (LL i=2;i*i<=y;++i)
    {
        if (x%i!=0) continue;
        sum=sum/i*(i-1); 
        while (x%i==0) x/=i;
    }
    if (x>=2) sum=sum/x*(x-1);
    return sum;
}
//公式求x欧拉函数

$2$.线性筛求欧拉函数

根据三条性质推导即可。
线性筛中每一个数字最多只会被筛一次，因此正好可以对每一个数字求欧拉函数。
线性筛正好是由小的数字筛到大的数字 or 正好是指数
前者用后两条性质后者用第一条性质即可。
三条性质如下：

如果n为某一素数的幂次，那么: $\phi(p^a)=(p-1)*p^ {a-1}$
如果i mod p=0,那么$φ(i*p)=p*φ(i)$
如果i mod p≠0，那么$φ(i*p)=φ(i)*(p-1)$

inline void findphi(void)
{
    phi[1]=1,prm[1]=0;
    for (LL i=2;i<=n;++i)
    {
        if (!v[i]) { prm[++cnt]=i, phi[i]=i-1; }
        for (LL j=1;j<=cnt && i*prm[j]<=n;++j)
        {
            v[i*prm[j]]=1;
            if (i%prm[j]==0) { phi[i*prm[j]]=phi[i]*prm[j]; break; }
            if (i%prm[j]!=0) phi[i*prm[j]]=phi[i]*(prm[j]-1);	
        }	
    }
    return; 
}

后记

部分参考hkh大佬的博客。
在此表示感谢！
如有纰漏请读者指正！
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