[jzoj]3468.【NOIP2013模拟联考7】OSU!(osu)

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　　https://jzoj.net/senior/#main/show/3468

Description

　　osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。
　　我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子:
　　一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为一个长度为n的01串。在这个串中连续的x个1可以贡献x^3的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释）
　　现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。

Solution

　　我疑心这是一道极好的题目，网上的题解阐述的是大概，吾大都不懂。下面是我自个儿的理解，赘述一下。。

60分

　　我们发现，如果位置是0，那么对答案没有一点贡献。

　　答案是由一个或一段的1贡献的。所以，我们可以枚举连续的一段1的位置，使其满足它是相对独立的，没有与别段有交集。

100分

　　有办法可以快速处理以上的方法吗。答案使没有的。我们只能另辟途径。

　　看到概率，脑子里除了DP就是暴力。

　　循规蹈矩地设F[i]表示前i位的期望答案。

　　当前位选0，那么答案便是f[i-1]；当前位选1，那么对答案的贡献自然就多了，设这个多出来的贡献为k。

　　根据上面的理解可以得到

　　F[i]=f[i-1]*(1-p[i])+(f[i-1]+k)*p[i]

　　整理可得

　　f[i]:=f[i-1]+贡献*p[i];

　　关键是贡献的如果求贡献。我们知道，每次多1，那么答案就多(x+1)^3--x³=3*x²+3x+1，x显然是一个期望长度。令人蛋疼的是，期望的平方不等于平方的期望

　　设g1表示一次项的期望长度，g2表示二次项的期望长度。

　　g1相当于x，是期望长度，那么显然g1[i]=(g1[i-1]+1)*p[i]

　　因为(x+1)²-x²=2x+1，故可得g2[i]=(g2[i-1]+2*g1[i-1]+1)*p[i];

　　贡献的问题显然可得。具体见标程

Code

　　60分

var
        now,ans:extended;
        n,i,j:longint;
        a:array[0..1000] of extended;
begin
        assign(input,'osu.in');reset(input);
        assign(Output,'osu.out');rewrite(output);

        readln(n);

        for i:=1 to n do
                readln(a[i]);

        for i:=1 to n do
        begin
                now:=1;
                for j:=1 to n-i+1 do
                begin
                        now:=now*a[i+j-1];

                        ans:=ans+j*j*j*now*(1-a[i-1])*(1-a[i+j]);
                end;
        end;

        writeln(ans:0:1);
end.

　　100分

var
        n,i:longint;
        a,f,g1,g2:array[0..100000] of extended;
begin
        assign(input,'osu.in');reset(input);
        assign(Output,'osu.out');rewrite(output);

        readln(n);

        for i:=1 to n do
                readln(a[i]);

        for i:=1 to n do
        begin
                g1[i]:=(g1[i-1]+1)*a[i];
                g2[i]:=(g2[i-1]+2*g1[i-1]+1)*a[i];
                f[i]:=f[i-1]+(3*g2[i-1]+3*g1[i-1]+1)*a[i];
        end;

        writeln(f[n]:0:1);
end.