数据结构与算法7——高级排序

　　前面三章已经讨论过一下排序方法——冒泡排序、选择排序和插入排序，这些都容易实现，但是比较慢，另外还提到了递归排序，这种排序方式比简单排序要快，但是它需要的空间是原始数组空间的两倍，通常这是一个严重的缺点。
　　本章包含了两个高级的排序算法：希尔排序和快速排序。这两种排序时间比简单排序算法快得多。希尔排序大约需要O(N*(logN)^2)时间，快速排序需要O(N*logN)时间，这两种排序算法和归并排序不同，不需要大量的辅助存储空间，希尔排序几乎和归并排序一样容易实现，而快速排序是所有通用排序算法中最快的一种排序算法。本章最后还简要的介绍了基数排序，它是一种不常用但是很有趣的排序算法。

1 希尔排序

　　希尔排序是由计算机科学家希尔发明的，希尔排序基于插入排序，但是增加了一个新的特性，大大地提高了插入排序的效率。
　　依靠这个特别的实现机制，希尔排序对于多达几千个数据项的，中等大小规模的数组排序表现良好，希尔排序不像快速排序那样快，因此对于非常大的文件排序，它不是最优选择。希尔排序很容易实现，希尔排序算法代码简短简单。
　　它在最坏的情况下的执行效率和平均情况下差不多，后面会提到，除非采取了预防措施，否则快速排序在最坏情况下执行效率很差，一些专家比如Sedgwick提倡差不多任何排序工作在开始时都可以使用希尔排序，若在实际中证明它不够快，再改换诸如快速排序这样更高级的排序算法。

1.1 n-增量排序

　　希尔排序通过加大插入排序中元素之间的间隔，并在这些有间隔的元素中进行插入排序，从而使数据项能大跨度地移动，当这些数据项排过一趟序后，希尔排序算法减小数据项的间隔再进行排序，依次进行下去。进行这些排序时数据项之间的间隔被称为增量，并且习惯上用字母h来表示。下面显示一个增量为4对包含10个数据项的数组进行排序的情况。经过排序0,4和8号位的元素已经有序。

　　当对0,4,8排序完成后，算法右移一步，对1,5,9号元素排序。这个过程持续进行，直到完成4-增量排序，也就是说，间隔为4的数据都会有序。完成4-增量的希尔排序之后，数组可以看出是由4个子数组组成:(0,4,8),(1,5,9),(2,6)和(3,7)

　　完成4增量排序之后，所有元素离它最终有序序列中的位置都相差不远，这就是数组基本有序的含义，也是希尔排序的奥秘所在。通过创建这种交错的内部有序的数据项集合，把完成排序所必须的工作量降到了最小。
　　回到插入排序上来，插入排序对基本有序的数组排序是非常有效的，如果插入排序只需要把数据项移动一位或两位，那么算法大概需要O(N)时间，完成4增量排序后，可以进行普通的插入排序，即1增量排序，1-增量和4-增量排序结合起来使用，比仅仅只需普通插入排序快得多。

1.2 减小间隔

　　上面演示的是是4增量排序，对于更大的数组，开始的间隔应该更大，然后间隔不断减小，直到间隔变成1.这些间隔并不是随意的，而是由一个公式来确定的，即Knuth递归表达式：
h = 3*h + 1 也就是1,4,13,40,121,364,1093.....
　　显然当间隔超过数组本身的长度的时候，代码是无效的。当确定一个最大的间隔后，就可以用改公式的倒推式来进一步减小间隔：
h = (h - 1)/3
　　希尔排序比插入排序快很多，原因是：当h值很大时候，数据项每一趟排序需要移动元素的个数很少，但数据项移动的距离很长。这是非常有效率的，当h减小时，每一趟排序需要移动的元素个数增多，但是此时数据项已经接近于它们排序后最终的位置，这对于插入排序可以更有效率。整数这两种情况的结合才使希尔排序效率那么高。

1.3 希尔排序现

　　希尔排序和插入排序代码差不多，只是在插入排序的开始部分，在合适的位置把h赋值为1，并且添加生成间隔序列的公式。

package chapter7;

class ArraySh{
    private long[]  array;
    private int nElems;
    public ArraySh(int max){
        array = new long[max];
        nElems = 0;
    }
    //将值插入数组
    public void insert(long value){
        array[nElems++] = value;
    }
    //输出数组
    public void display(){
        System.out.print("A:");
        for(int i = 0; i < nElems; i++){
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
    //希尔排序
    public void shellSort(){
        int inner, outer;
        long temp;
        
        int h = 1;
        //将h拉到最大值
        while(h <= nElems/3){
            h = h*3 + 1;
        }
        while(h > 0){
            for(outer = h; outer < nElems; outer++){
                temp = array[outer];
                inner = outer;
                while(inner > h-1 && array[inner - h] >= temp){
                    array[inner] = array[inner - h];
                    inner -= h;
                }
                array[inner] = temp;
            }
            h = (h - 1)/3;
        }
    }
};

public class ShellSortApp {
    public static void main(String[] args){
        int maxSize = 10;
        ArraySh arr;
        arr = new ArraySh(maxSize);
        
        for(int i = 0; i < maxSize; i++){
            long n = (int)(java.lang.Math.random()*99);
            arr.insert(n);
        }
        arr.display();
        //shell排序
        arr.shellSort();
        //输出排序结果
        arr.display();
    }
};

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输出结果：
A:72 76 21 97 40 33 65 27 65 95
A:21 27 33 40 65 65 72 76 95 97

1.4 其他间隔序列

　　除了上面介绍的序列外，还有其他序列，只有一个绝对的条件，就是逐渐减小的间隔最后一定要等于1，因此最后一趟排序是一次普通的插入排序。间隔序列中的数字互质通常被认为很重要，也就是说除了1之外没有别的公约数。

1.5 希尔排序的效率

　　迄今为止还没有人从理论上分析希尔排序的效率，基于各种实验的评估，估计它的时间级在O(N^(3/2))到O(N^(7/6))

2 快速排序

　　快速排序是最流行的排序算法，在大多数情况下，快速排序都是最快的，执行时间为O(N*logN)级。快速排序算法本质上通过把一个数组划分为两个子数组，然后递归调用自身为每个子数组进行快速排序来实现的。寻找划分数组的基准值也就是中枢值是这个算法的核心。基准值理论上任意一个均可，但最好选取一个数组的中位数，此时的排序效率是最高的。

package chapter7;


class ArrayIns{
    private long[] array;
    private int nElems;
    public ArrayIns(int max){
        array = new long[max];
        nElems = 0;
    }
    //插入数组值
    public void insert(long value){
        array[nElems] = value;
        nElems++;
    }
    //输出数组
    public void display(){
        System.out.print("A:");
        for(int i = 0; i < nElems; i++){
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
    public void quickSort(){
        recQuickSort(0, nElems - 1);
    }
    public void recQuickSort(int left, int right){
        if(right - left <= 0){
            return;
        }else{
            //以右边的为基准值
            long pivot = array[right];
            int partition = partitionIt(left, right, pivot);
            recQuickSort(left, partition - 1);
            recQuickSort(partition + 1, right);
        }
    }
    //确定基准值
    public int partitionIt(int left, int right, long pivot){
        int leftPtr = left - 1;
        int rightPtr = right;
        while(true){
            //寻找左边大于基准值的
            while(array[++leftPtr] < pivot){
                ;
            }
            //寻找右边小于基准值的
            while(array[--rightPtr] > pivot){
                ;
            }
            if(leftPtr >= rightPtr){
                break;
            }else{
                swap(leftPtr, rightPtr);
            }
        }
        swap(leftPtr, right);
        return leftPtr;
    }
    //交换两个值
    public void swap(int dex1, int dex2){
        long temp = array[dex1];
        array[dex1] = array[dex2];
        array[dex2] = temp;
    }
};

public class QuickSortApp {
    public static void main(String[] args){
        int maxSize = 16;
        ArrayIns arr;
        arr = new ArrayIns(maxSize);
        for(int i = 0; i < maxSize; i++){
            long n = (int)(java.lang.Math.random()*99);
            arr.insert(n);
        }
        //未排序的数组输出
        arr.display();
        //对数组进行排序
        arr.quickSort();
        //输出排好序的数组
        arr.display();
    }
};

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