Problem
题意概要：给定一棵 (n) 点有根树与 (m) 条链，链有费用，保证链端点之间为祖先关系，问至少花费多少费用才能覆盖整棵树（(n-1) 条边）
(n,mleq 3 imes 10^5)
Solution
有一个线性规划的对偶式子（是从这篇里学习的）：
(max{c^Tx|Axleq b}=min{b^Ty|A^Tygeq c})
（其中 (x,y,b,c) 为列向量，(A) 为一个矩阵）
其理解可以参照下面这个模型：
第一个式子中：工厂主有 (n) 个产品，其中 (A) 为这些产品所需原材料的数量，(x) 为产品生产数量，(c) 为生产一件产品的收益，(b) 为原材料数量
第二个式子中：喻同学有 (m) 种原材料，其中 (A^T) 上述矩阵的转置，(b,c) 同理，(y) 表示给原材料的定价
第一个式子中的现实意义：工厂主在使用现有原材料的情况下，生产产品所得最大收益
第二个式子中的现实意义：喻同学给工厂主的原材料定价，使得工厂主无论如何都无法获得任何收益，在此情况下尽量使得工厂主支出最少
由于工厂主要最大化自己的收益，而在喻同学的操作下，工厂主已经无法获益，要最大化自己收益（可能为负）只能尽量减少支出
由现实意义可以得出该式子，但严谨证明暂略
回到这题，由于求最小的花费不容易求，使用上述对偶关系进行转换：
原题套用第二个式子：
(b^T) : 每条链的费用
(y) : 每条链是否选择
(A^T) : 每条边是否被每条链覆盖
(c) : 每条边至少覆盖一次
求费用最小
对偶成第一个式子：
(c^T) : 每条边被覆盖一次
(x) : 给每条边构造的权值
(A) : 每条链是否覆盖每个点
(b) : 每条链的费用
求构造值之和最大
所以原题转化成：给定一棵树，要求给每条边构造一个权值，使得对于每条链而言，链上边权值之和不大于当前链的权值。由于原题保证链一定有祖先关系，可以左偏树贪心
Code
/*
Problem Source : cf-671D
Author : oier_hzy
Time : Nov 19 2019
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(int&x){
char c11=getchar();x=0;while(!isdigit(c11))c11=getchar();
while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();
}
const int N = 301000;
struct Edge{int v,w,nxt;} a[N*3];
int head[N], Head[N];
int tag[N], cov[N];
int dep[N], len[N];
int rt[N], ls[N], rs[N];
int n,m,_,tot;
long long Ans;
inline void add(int x,int y,int z,int*arr){a[++_].v = y, a[_].w = z, a[_].nxt = arr[x], arr[x] = _;}
struct node{int w, ps;}t[N];
inline void put_tag(int x,int y) {t[x].w += y, tag[x] += y;}
inline void down_tag(int x){
int&v = tag[x];
if(!v) return ;
if(ls[x]) put_tag(ls[x], v);
if(rs[x]) put_tag(rs[x], v);
v = 0;
}
int merge(int x,int y){
if(!x or !y) return x | y;
down_tag(x), down_tag(y);
if(t[x].w > t[y].w) swap(x,y);
rs[x] = merge(rs[x], y);
if(len[ls[x]] < len[rs[x]]) swap(ls[x], rs[x]);
len[x] = len[rs[x]] + 1;
return x;
}
void dfs(int x,int las){
for(int i=head[x];i;i=a[i].nxt)
if(a[i].v != las){
dep[a[i].v] = dep[x] + 1;
dfs(a[i].v,x);
rt[x] = merge(rt[x], rt[a[i].v]);
cov[x] += cov[a[i].v];
}
if(x != 1 and !cov[x]) puts("-1"), exit(0);
for(int i=Head[x];i;i=a[i].nxt){
t[++tot] = (node) {a[i].w, a[i].v};
rt[x] = merge(rt[x], tot);
}
while(rt[x] and dep[t[rt[x]].ps] >= dep[x]) {
down_tag(rt[x]);
rt[x] = merge(ls[rt[x]], rs[rt[x]]);
}
Ans += t[rt[x]].w, put_tag(rt[x], -t[rt[x]].w);
}
int main(){
read(n), read(m);
int x,y,z;
for(int i=1;i<n;++i){
read(x), read(y);
add(x,y,0,head);
add(y,x,0,head);
}
while(m--){
read(x), read(y), read(z);
++cov[x], --cov[y];
add(x,y,z,Head);
}
dfs(1,0);
printf("%lld
",Ans);
return 0;
}