中国科学院大学
2016 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
数学分析
1. 计算极限
egin{equation*}
lim_{x o 0} left(frac{mathrm{e}^{x}+mathrm{e}^{2x}+dotsb+mathrm{e}^{nx}}{n}
ight)^{frac{1}{x}}.
end{equation*}
2. 求定积分
egin{equation*}
I=int_{0}^{1} log(1+sqrt{x})\, mathrm{d}x.
end{equation*}
3. 求二重极限
egin{equation*}
lim_{substack{x o infty \ y o infty }} frac{x+y}{x^2-xy+y^2}.
end{equation*}
4. 设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上连续正函数, 求证存在 $xi in(a,b)$, 使得
egin{equation*}
int_{a}^{xi} f(x)\,mathrm{d}x = int_{xi}^{b} f(x)\, mathrm{d}x =frac{1}{2} int_{a}^{b} f(x) \, mathrm{d}x.
end{equation*}
5. 求以下曲面所围立体的体积:
egin{align*}
& S_1 colon frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} +frac{z^2}{c^2}=1, \
& S_2 colon frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = frac{z^2}{c^2} quad (zgeqslant 0).
end{align*}
6. 设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数, 且 $f(x)$ 单调递增. 求证:
egin{equation*}
int_{a}^{b} tf(t) \, mathrm{d}t geqslant frac{a+b}{2} int_{a}^{b} f(t)\,mathrm{d}t.
end{equation*}
7. 若数列 ${a_n}$, ${b_n}$ 满足如下条件:
(a) $a_1geqslant a_2 geqslant dotsc$ 且 $limlimits_{n o infty} a_n =0$;
(b) 存在正数 $M$, 对任意的正整数 $n$, 均有 $left|sumlimits_{k=1}^{n}b_k ight| leqslant M$.
证明级数 $sumlimits_{n=1}^{infty} a_n b_n$ 收敛.
8. 设 $0leqslant a< b/2$, $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上可导且 $f(a)=a$, $f(b)=b$.
(a) 求证存在 $xiin (a,b)$, 使得 $f(xi)=b-xi$;
(b) 若 $a=0$, 求证存在 $alpha, etain (a,b)$, $alpha eq eta$, 使得 $f'(alpha)f'(eta)=1$.
9. 求椭圆 $x^2+4y^2=4$ 上到直线 $2x+3y=6$ 距离最短的点, 并求其最短距离.
10. 半径为 $R$ 的球面 $S$ 的球心在单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上, 求球面 $S$ 在单位球内面积的最大值, 并求出此时的 $R$.