双纽线周率与算术几何平均

彭道意

2012年11月23日

双纽线 $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$ 时常出现在我们教材的例题或课后习题中, 鉴于此, 这篇短文主要介绍双纽线周长的计算. 也是椭圆周长的计算一文的后续.

双纽线也称伯努利双纽线 (Lemniscate of Bernoulli): $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$ 的极坐标方程为 $r^2( heta)=a^2cos 2 heta$. 由曲线的弧长公式 (数学分析$cdot$上 p254): [s=int_{alpha}^{eta}sqrt{r^2( heta)+r'^2( heta)}\,mathrm{d} heta] 结合双纽线的对称性, 设 $varpi$ 是双纽线的半周长, 且 $a=1$ 我们易得

egin{align*}
2varpi & = 4 int_{0}^{frac{pi}{4}}sqrt{r^2( heta)+r'^2( heta)}\,mathrm{d} heta \
& =4int_{0}^{frac{pi}{4}}frac{mathrm{d} heta}{sqrt{cos 2 heta}} \
& =4int_{0}^{1}frac{mathrm{d}t}{sqrt{1-t^4}}quad (t^2=cos 2 heta)
end{align*}

在此积分中作变量代换 $t=u^{frac{1}{4}}$ 则有 egin{align*} varpi & =frac{1}{2}int_{0}^{1}u^{-frac{3}{4}}(1-u)^{-frac{1}{2}}\,mathrm{d}u \ & =frac{1}{2}{ m B}left(frac{1}{4},frac{1}{2} ight), end{align*} 其中 ${ m B}(p,q)$ 为 ${ m B}$ 函数.

$varpi$ 是 Gauss (1799 年) 由研究算术几何平均时发现的量, 下面介绍 $varpi$ 与算术几何平均的关系.

当给出正数 $ageqslant b$ 时, 由 $a_0=a,b_0=b$ 递推地定义数列 ${a_n},{b_n}$ 如下: [ egin{cases} a_{n+1} & =dfrac{a_n+b_n}{2}quad ext{(算术平均)} \ b_{n+1} & =sqrt{a_nb_n}quad ext{(几何平均)}, end{cases} ] 成立 $a_0geqslant a_1geqslant a_2geqslantcdotsgeqslant b_2geqslant b_1geqslant b_0$ 及 [|a_n-b_n|leqslant frac{a_0-b_0}{2^n},] 于是得知 $limlimits_{n oinfty}a_n=limlimits_{n oinfty}b_n$. (数学分析$cdot$上 p42 习题 11) 称此极限值为$ ext{算术几何平均}$ (arithmetico-geometric mean), 以 $mathrm{AGM}(a,b)$ 记之.

Gauss 发现的是 [{ m AGM}(sqrt{2},1)=frac{pi}{varpi}] 这个等式. 更一般地 Gauss 得到了 ${ m AGM}(a,b)$ 的公式.

$ ext{定理 (Gauss)}$ [ mathrm{AGM}(a,b)=dfrac{dfrac{pi}{2}}{displaystyleint_{0}^{frac{pi}{2}}frac{mathrm{d} heta}{sqrt{a^2cos^2 heta +b^2sin^2 heta}}}. ] 证将上式右端的倒数记为 $F(a,b).$ 以 $x=b an heta$ 作替换, 有 [F(a,b)=frac{2}{pi}int_{0}^{+infty}frac{mathrm{d}x}{sqrt{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}}= frac{1}{pi}int_{-infty}^{+infty}frac{mathrm{d}x}{sqrt{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}}] 进一步作替换 $y=frac{1}{2}ig(x-frac{ab}{x}ig)$ 则有 [F(a,b)=frac{1}{pi}int_{-infty}^{+infty}frac{mathrm{d}y}{sqrt{((frac{a+b}{2})^2+y^2)(ab+y^2)}} =Fleft(frac{a+b}{2},sqrt{ab} ight).] 因此有 [F(a,b)=F(a_1,b_1)=F(a_2,b_2)=cdots=F(a_n,b_n).] 于是, 令 $mathrm{AGM}(a,b)=alpha$ 则 [F(a,b)=lim_{n oinfty}F(a_n,b_n)=F(alpha,alpha)=frac{2}{pi}int_{0}^{frac{pi}{2}}frac{mathrm{d} heta} {sqrt{alpha^2cos^2 heta+alpha^2sin^2 heta}}=frac{1}{alpha},] 则知 $mathrm{AGM}(a,b)=F(a,b)^{-1}.$ $quadBox$

特别地, 有 egin{align*} mathrm{AGM}(sqrt{2},1)^{-1} & =frac{2}{pi}int_{0}^{frac{pi}{2}}frac{mathrm{d} heta}{sqrt{1+cos^2 heta}} =frac{2}{pi}int_{0}^{1}frac{mathrm{d}t}{sqrt{1-t^4}}quad (t=cos heta) \ & =frac{varpi}{pi}. end{align*} 由上面的结果, 我们作进一步计算 [mathrm{B}(p,q)=frac{Gamma(p)Gamma(q)}{Gamma(p+q)}] 其证明如下. 由 [Gamma(p)=int_{0}^{infty}x^{p-1}mathrm{e}^{-x}\,mathrm{d}x,quadGamma(q) =int_{0}^{infty}y^{q-1}mathrm{e}^{-y}\,mathrm{d}y ] 得到 [Gamma(p)Gamma(q)=int_{0}^{infty}int_{0}^{infty}x^{p-1}y^{q-1}mathrm{e}^{-(x+y)}\,mathrm{d}xmathrm{d}y.] 对其作变量替换 [egin{cases} x=ut \ y=(1-u)t end{cases} uin[0,1], tin[0,+infty),] 则 egin{align*} Gamma(p)Gamma(q) & =int_{0}^{1}mathrm{d}uint_{0}^{infty}t\,mathrm{d}tcdot u^{p-1}(1-u)^{q-1}t^{p+q-2}mathrm{e}^{-t} \ & =mathrm{B}(p,q)Gamma(p+q). end{align*} 因此有 [varpi=frac{1}{2}frac{Gamma(frac{1}{4})Gamma(frac{1}{2})}{Gamma(frac{3}{4})}.] 再由余元公式 (Euler's reflection formula) [Gamma(s)Gamma(1-s)=frac{pi}{sin pi s}] 及 $Gamma(frac{1}{2})=sqrt{pi}$ 便求出了 [varpi=frac{1}{2}pi^{frac{1}{2}}GammaBig(frac{1}{4}Big)^2frac{1}{Gamma(frac{1}{4})Gamma(frac{3}{4})} =2^{-frac{3}{2}}pi^{-frac{1}{2}}GammaBig(frac{1}{4}Big)^2.]

综合上述, 我们可用 $Gamma$ 函数 ($mathrm{B}$ 函数) 表示了双纽线的周长. 并且指出了它与算术几何平均的关系.