本文推广了多重小数部分和的渐近式与 Ovidiu Furdui 积分问题一文中的结果。
最近，王永强先生推广 $2$ 重和式的结果，然后我将其推广到 $k$ 重和式。具体文章将继续投稿给大学数学杂志。
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对于正整数 $kgeqslant 3$, 正整数 $a_1,dotsc, a_k in mathbb{N}_{+}$ 互素 $(a_1,dotsc,a_k)=1$.
egin{align*}
& quad sum_{n_1 leqslant x} dotsc sum_{n_{k} leqslant x}
left{ frac{x}{a_1n_1+dotsb+a_kn_k}
ight} \
& = Bigg( frac{1}{(k-1)! a_1 dotsm a_k} igg(
sum_{1leqslant i leqslant k} (-1)^{k+1} a_{i}^{k-1} log a_{i}
+ sum_{1leqslant i_1 < i_2 leqslant k} (-1)^{k+2} (a_{i_{1}}+a_{i_{2}})^{k-1} log(a_{i_1}+a_{i_2}) \
& quad + sum_{1leqslant i_1 < i_2 <i_3 leqslant k} (-1)^{k+3} (a_{i_{1}}+a_{i_{2}}+a_{i_{3}})^{k-1} log(a_{i_1}+a_{i_2}+a_{i_3}) + dotsb \
&quad + (a_1+dotsb+a_k)^{k-1} log(a_1+dotsb +a_k) igg) - frac{zeta(k)}{k! a_1dotsm a_k} Bigg)x^{k} + O(x^{k-1})
end{align*}
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对应的我们有小数部分积分
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对于正整数 $kgeqslant 2$, 正整数 $a_1,dotsc, a_k in mathbb{N}_{+}$ 互素 $(a_1,dotsc,a_k)=1$.
egin{align*}
&quad int_{0}^{1} dotsi int_{0}^{1} left{ frac{1}{a_1t_1+dotsb+a_kt_k}
ight} \, mathrm{d}t_1 dotsm mathrm{d}t_k \
& = frac{1}{(k-1)! a_1 dotsm a_k} igg(
sum_{1leqslant i leqslant k} (-1)^{k+1} a_{i}^{k-1} log a_{i}
+ sum_{1leqslant i_1 < i_2 leqslant k} (-1)^{k+2} (a_{i_{1}}+a_{i_{2}})^{k-1} log(a_{i_1}+a_{i_2}) \
& quad + sum_{1leqslant i_1 < i_2 <i_3 leqslant k} (-1)^{k+3} (a_{i_{1}}+a_{i_{2}}+a_{i_{3}})^{k-1} log(a_{i_1}+a_{i_2}+a_{i_3}) + dotsb \
&quad + (a_1+dotsb+a_k)^{k-1} log(a_1+dotsb +a_k) igg) - frac{zeta(k)}{k! a_1dotsm a_k}
end{align*}
当 $k=1$ 时, 实数 $a_1 geqslant 1$
egin{equation*}
int_{0}^{1} left{ frac{1}{a_{1}t_{1}}
ight} \, mathrm{d}t_1 = frac{1- gamma +log a_{1}}{a_{1}}.
end{equation*}
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