斯特林数

简介

斯特林数是组合数学中的一个重要内容，有许多有用的性质。它由十八世纪的苏格兰数学家James Stirling首先发现并说明了它们的重要性。
斯特林数主要处理的是把(N)个不同的元素分成(k)个集合或环的个数问题。现在我们说的斯特林数可以指两类数，分为第一类斯特林数和第二类斯特林数，其中第一类斯特林数还分成有符号和无符号两种。

第一类斯特林数

这里仅讨论有符号的第一类斯特林数。
第一类斯特林数表示的是将(n)个不同元素分成(k)个不同的环的方案数。两个环不相同当且仅当这两个环不能通过旋转得到。表示方法为：

[egin{bmatrix} n \ k end{bmatrix} ]

考虑递推，把(n)个不同元素分成(k)个不同的环有两种转移。第一种，有可能是(n-1)个不同元素分成(k-1)个不同的环，当前的第(n)个独立成一个元素。第二种可能是(n-1)个不同元素已经分好了(k)个不同的环，当前这个可以加进去。加在每个已有元素的逆时针方向（或顺时针方向，方向没有关系，只要统一即可）就不会出现重复，共有(n-1)种方法，所以：

[egin{aligned} egin{bmatrix} 0 \ 0 end{bmatrix} &=1 \ egin{bmatrix} n \ k end{bmatrix} &= egin{bmatrix} n-1 \ k-1 end{bmatrix} + egin{bmatrix} n-1 \ k end{bmatrix} *(n-1) end{aligned} ]

这就是第一类斯特林数的递推式，也可以写成：

[s(n,k)=s(n-1,k-1)+s(n-1,k)*(n-1) ]

性质

组合数学中的定理暴力求解可行，但是不好玩。所以组合数学中很多定理的证明是通过构造一个问题，用两种不同的方法计算，由于是同一个问题，那么算出来的答案一定是相等的，从而证明等式，简称“算两次”。
第一类斯特林数有如下特殊性质：

(s(0,0)=1)
(s(n,0)=0~ (n>0))
(s(n,1)=(n-1)!)
(s(n,n-1)=C_n^2)
(s(n,2)=(n-1)!*sum _{i=1}^{n-1}frac{1}{i})
(s(n,n-2)=2C_n^3+3C_n^4)
(sum _{k=0}^ns(n,k)=n!)

下面给出性质1，3，4，5的证明。

性质一

显然，我们把(n)个元素排列起来，有(n!)种可能，首尾相接即可得到一个环。这里面每种情况重复了(n)次，因为可以旋转(n)次，所以除以(n)，得到(s(n,1)=(n-1)!).

性质三

(s(n,2)=(n-1)!*sum \_{i=1}^{n-1}frac{1}{i})
这里给出数学归纳法的证明。
首先，(s(2,2)=1*1=1)，符合定义。
下面通过递推式和性质一证明性质三对于(n)也成立：

[egin{aligned} s(n+1,2)&=s(n,1)+s(n,2)*n \ &=(n-1)!+n*(n-1)!*sum _{i=1}^{n-1}frac{1}{i} \ &=(n-1)!+n!*sum _{i=1}^{n-1}frac{1}{i} \ &=frac{n!}{n}+n!*sum _{i=1}^{n-1}frac{1}{i} \ &=n!*sum _{i=1}^{n}frac{1}{i} \ end{aligned} ]

得证！

性质四

同理可用数学归纳法强行计算。巧妙的方法我还没想到。

性质五

这里有一个巧妙地“算两次”方法。
首先构造一个问题，求(n)个数的所有排列。
首先用乘法原理直接得出结论，(ans=n!)。
我们知道，对于一个排列对应一个置换，即：

[egin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n \ a_1 & a_2 & ... & a_n end{pmatrix} ]

把这个置换中的上下对应位置连边，可以得到许多的环。由于排列和置换是一一对应的，所以我们要求排列的个数，就是求用(n)个元素组成环的方案数，所以我们枚举环的个数:

[n!=sum _{k=1}^ns(n,k) ]

由于我们有(s(n,0)=0)，所以也可以写成：

[sum _{k=0}^ns(n,k)=n! ]

第二类斯特林数

第二类斯特林数表示把(n)个元素分成(k)个非空集合的方案数，集合内是无序的。这样，我们很容易得出转移：
分为两种情况。第一种情况，如果前(n-1)个元素组成了(k-1)个非空集合，那么当前元素自成一个集合。第二种情况，如果前(n-1)个元素组成了(k)个集合，那么当前的这个元素可以放进这(k)个集合中任意的一个。所以我们的到来递推方程：

[egin{Bmatrix} n \ k end{Bmatrix}=egin{Bmatrix} n-1 \ k-1 end{Bmatrix}+egin{Bmatrix} n-1 \ k end{Bmatrix}*k ]

也可以写成：

[S(n,k)=S(n-1,k-1)+S(n-1,k)*k ]

性质

(S(0,0)=1)
(S(n,0)=0,n>0)
(S(n,n)=1)
(S(n,2)=S(n-1,1)+S(n-1,2)*2=1+S(n-1,2)*2=2^{n-1}-1)
(S(n,n-1)=C_n^2)
(S(n,n-2)=C_n^3+3C_n^4) 简单巧妙的证明：我们分成两种情况，把(n)个不同的元素分成(n-2)个集合有两种情况，分别是有一个集合有三个元素和有两个集合有两个元素。对于前者，我们选出三个元素为一个集合，其他的各成一个集合，这种情况的方案数就是(C_n^3)。对于后者，先选出四个元素来，考虑怎么分配。当其中一个元素选定另一个元素形成同一个集合时，这种情况就确定了，所以是(3C_n^4)。加法原理计算和即得证。
(S(n,3)=frac{1}{2}(3^{n-1}+1)-2^{n-1}) 数学归纳法
(S(n,n-3)=C_n^4+10C_n^5+15C_n^6) 同性质六

通项公式：

[S(n,m)=frac{1}{m!} sum _{k=0}^m (-1)^kC_m^k(m-k)^n ]

大概就是容斥原理，(k)枚举有多少个集合是空的，每种情况有(C_m^k)种空集情况，(n)个元素可以放进非空的(m-k)个集合中。这样求出来的答案是有序的，所以我们除以(m!)使得其变为无序。

此公式更直接的推导，可以使用生成函数，这篇文章中给出了其中一种生成函数的推导方法。