Note -「Maths」Euler 筛筛积性函数

Part. 1 Preface

这个东西是我在做 JZPTAB 的时候 LYC 给我讲的。

然后发现这是个通法，就写一写。

本文除了例题所有代码均未经过编译，仅作为参考。

Part. 2 Untitled（怎么取标题呀）（哦 正文）

Part. 2-1 Worse ver.

对于一个积性函数 (f(n))，如果我们已知 (f(1),f(p),f(p^{k})) （(p) 是一个素数）并且可以在 (O(log_{2}(n))) 的时间内算出来的话，我们就可以在 (O(nlog_{2}(n))) 的时间内利用 Euler 筛筛出 (f(1cdots n)) 的值。

举个例子，假设

[f(n)=sum_{d|n}d imesvarphi(lfloorfrac{n}{d} floor) ]

由于 ( ext{id}) 卷 (varphi) 卷不出个什么现成的函数，所以我们得考虑自己把它筛出来。

带个 (p) 进去可知

[egin{cases} f(1)=1 \ displaystyle f(p)=2 imes p-1 \ displaystyle f(p^{k})=(k+1) imes p^{k}-k imes p^{k-1} end{cases} ]

以下内容请参考 Euler 筛代码来看：

void sieve ( const int x ) {
	tag[1] = 1, f[1] = /* DO SOMETHING 1 */;
	for ( int i = 2; i <= x; ++ i ) {
		if ( ! tag[i] ) {
			pSet[++ psc] = i;
			f[i] = /* DO SOMETHING 2 */;
		}
		for ( int j = 1; j <= psc && pSet[j] * i <= x; ++ j ) {
			tag[pSet[j] * i] = 1;
			if ( ! ( i % pSet[j] ) ) {
				f[pSet[j] * i] = /* DO SOMETHING 3 */;
				break;
			}
			else	f[pSet[j] * i] = /* DO SOMETHING */;
		}
	}
}

函数 ( ext{sieve}) 就是 Euler 筛的过程。我在代码中留了四个空，分别来看我们需要做什么。

  • 第一个空很显然，把 (f(1)) 赋给 f[1] 即可。

  • 第二个空也很显，把 (f(p)) 付给 f[i]。

  • 我们重点来看第三个空。

首先因为此时的 (i, ext{pSet}_{j}) 不互质，所以不能直接照完全积性函数筛。

首先，我们需要把 (i imes ext{pSet}_{j}) 中 ( ext{pSet}_{j}) 因子全部除掉，除完后的结果记为 ( ext{tmp})，( ext{pSet}_{j}) 因子数量记为 ( ext{power})，即 (i imes ext{pSet}_{j}= ext{pSet}_{j}^{ ext{power}} imes c)。

就是类似下面代码做的事情

int tmp = i / pSet[j], power = 2;
while ( ! ( i % pSet[j] ) )	i /= pSet[j], ++ power;

然后对 ( ext{tmp}) 进行分类讨论：

    • ( ext{tmp}=1)：此时 (i imes ext{pSet}_{j}) 是 ( ext{pSet}_{j}) 的 ( ext{power}) 次方，把 (f(p^{k})) 赋给 f[pSet[j] * i] 即可。
    • ( ext{tmp}>1)：此时 ( ext{tmp}) 与 (frac{i imes ext{pSet}_{j}}{ ext{tmp}}) 互质，于是照积性函数 f[pSet[j] * i] = f[pSet[j] * i / tmp] * f[tmp]。

于是第三个空做完了。

  • 第四个空中 ( ext{pSet}_{j}) 与 (i) 互质，于是照积性函数 f[pSet[j] * i] = f[pSet[j]] * f[i]。

于是我们得到了完整代码

void sieve ( const int x ) {
	tag[1] = 1, f[1] = 1;
	for ( int i = 2; i <= x; ++ i ) {
		if ( ! tag[i] ) {
			pSet[++ psc] = i;
			f[i] = 2 * i - 1;
		}
		for ( int j = 1; j <= psc && pSet[j] * i <= x; ++ j ) {
			tag[pSet[j] * i] = 1;
			if ( ! ( i % pSet[j] ) ) {
				int tmp = i / pSet[j], power = 2;
				while ( ! ( i % pSet[j] ) )	i /= pSet[j], ++ power;
				if ( tmp == 1 )	f[pSet[j] * i] = ( power + 1 ) * cqpow ( pSet[j], power ) - power * cqpow ( pSet[j], power - 1 );
				else	f[pSet[j] * i] = f[pSet[j] * i / tmp] * f[tmp];
				break;
			}
			else	f[pSet[j] * i] = f[pSet[j]] * f[i];
		}
	}
}

Part. 2-2 Better ver.

上述的方法的缺点显而易见：复杂度多出来个 (log_{2})。

更好的方法是记录最小质因子，具体见 ljs 博客 Link。

Part. 3 Example

LOCAL 64388 - GCD SUM

求

[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m extrm{gcd}(i,j) ]

共有 (T) 组询问

( ext{task_id}) 测试点数 (n,mleq) (Tleq) 特殊性质
(1) 1 (10) (10^3) 无
(2) 2 (10^3) (10) 无
(3) 3 (10^3) (10^4) 无
(4) 4 (10^6) (10) (n = m)
(5) 5 (10^6) (10^4) (n = m)
(6) 2 (10^6) (10^5) (n = m)
(7) 3 (10^7) (10^6) (n = m)
(8) 2 (10^6) (10) 无
(9) 3 (10^6) (10^4) 无

放个 task 7 以外的部分分的推导

[sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}gcd(i,j) \ egin{aligned} &=sum_{d=1}^{min{n,m}}dsum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d] \ &=sum_{d=1}^{min{n,m}}dsum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{m}{d} floor}[gcd(i,j)=1] \ &=sum_{d=1}^{min{n,m}}dsum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{m}{d} floor}sum_{k|i,k|j}mu(k) \ &=sum_{d=1}^{min{n,m}}dsum_{k|(lfloorfrac{n}{d} floor),k|(lfloorfrac{m}{d} floor)}mu(k)(lfloorfrac{n}{d imes k} floor)(lfloorfrac{m}{d imes k} floor) \ &=sum_{d=1}^{min{n,m}}dsum_{k|(lfloorfrac{n}{d} floor),k|(lfloorfrac{m}{d} floor)}mu(k)(lfloorfrac{n}{d imes k} floor)(lfloorfrac{m}{d imes k} floor) \ &=sum_{T=1}^{min{n,m}}sum_{d|T}d imesmu(lfloorfrac{T}{d} floor) imes(lfloorfrac{n}{T} floor) imes(lfloorfrac{m}{T} floor) \ &=sum_{T=1}^{min{n,m}}(lfloorfrac{n}{T} floor) imes(lfloorfrac{m}{T} floor) imessum_{d|T}d imesmu(lfloorfrac{T}{d} floor) \ &=sum_{T=1}^{n}(lfloorfrac{n}{T} floor)^{2} imesvarphi(T) \ end{aligned} ]

对于 task 7，(n=m) 让我们很方便地直接少了一个变量，然后就继续推

[sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}gcd(i,j) \ egin{aligned} &=left(2sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{i}gcd(i,j) ight)-frac{n(n+1)}{2} \ &=left(2sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}d imessum_{j=1}^{i}[gcd(i,j)=d] ight)-frac{n(n+1)}{2} \ &=left(2sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}d imessum_{j=1}^{lfloorfrac{i}{d} floor}[gcd(lfloorfrac{i}{d} floor,j)=1] ight)-frac{n(n+1)}{2} \ &=left(2sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}d imesvarphi(lfloorfrac{i}{d} floor) ight)-frac{n(n+1)}{2} \ end{aligned} ]

然后

[ ext{let }f(n)=sum_{d|n}d imesvarphi(lfloorfrac{n}{d} floor) ]

后面的就是前面举的例子了，略。

/*
large	ext{For 1e6 part} \
sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}gcd(i,j) \
sum_{d=1}^{min(n,m)}dsum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d] \
sum_{d=1}^{min(n,m)}dsum_{i=1}^{n/d}sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)=1] \
sum_{d=1}^{min(n,m)}dsum_{i=1}^{n/d}sum_{j=1}^{m/d}sum_{k|i,k|j}mu(k) \
sum_{d=1}^{min(n,m)}dsum_{k|(n/d),k|(m/d)}mu(k)(n/(dk))(m/(dk)) \
sum_{d=1}^{min(n,m)}dsum_{k|(n/d),k|(m/d)}mu(k)(n/(dk))(m/(dk)) \
sum_{T=1}^{min(n,m)}sum_{d|T}d	imesmu(T/d)	imes(n/T)	imes(m/T) \
sum_{T=1}^{min(n,m)}(n/T)	imes(m/T)	imessum_{d|T}d	imesmu(T/d) \
sum_{T=1}^{n}(n/T)^{2}	imesvarphi(T) \
	ext{precalculate the last part} \
large	ext{For 1e7 part} \
n=m \
left(2sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{i}gcd(i,j)
ight)-frac{n(n+1)}{2} \
left(2sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}d	imessum_{j=1}^{i}[gcd(i,j)=d]
ight)-frac{n(n+1)}{2} \
left(2sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}d	imessum_{j=1}^{i/d}[gcd(i/d,j)=1]
ight)-frac{n(n+1)}{2} \
left(2sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}d	imesvarphi(i/d)
ight)-frac{n(n+1)}{2} \
f(i)=sum_{d|i}d	imesvarphi(i/d) \
	ext{f(i) is able to be sieved;} \
f(1)=1,f(p)=p-1+p=2	imes p-1,f(p^{k})=(k+1)	imes p^{k}-k	imes p^{k-1}
*/
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int id,t,n,m,tag[10000010],prime[10000010],cnt;
long long f[10000010],phi[10000010];
long long cqpow(long long bas,int fur)
{
	long long res=1;
	while(fur)
	{
		if(fur&1)	res*=bas;
		bas*=bas;
		fur>>=1;
	}
	return res;
}
void search(int x)
{
	tag[1]=phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=x;++i)
	{
		if(!tag[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&(long long)prime[j]*i<=x;++j)
		{
			tag[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else	phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
	for(int i=1;i<=x;++i)	phi[i]+=phi[i-1];
}
long long calc(int x,int y)
{
	long long res=0;
	int lim=min(x,y);
	for(int l=1,r;l<=lim;l=r+1)
	{
		r=min(x/(x/l),y/(y/l));
		res+=(long long)(n/l)*(m/l)*(phi[r]-phi[l-1]);
	}
	return res;
}
void exsearch(int x)
{
	tag[1]=f[1]=1;
	for(int i=2;i<=x;++i)
	{
		if(!tag[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			f[i]=(i<<1)-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&(long long)prime[j]*i<=x;++j)
		{
			tag[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				int tmp=i/prime[j],power=2;
				while(tmp%prime[j]==0)
				{
					tmp/=prime[j];
					power++;
				}
				if(tmp==1)	f[prime[j]*i]=(power+1)*cqpow(prime[j],power)-power*cqpow(prime[j],power-1);
				else	f[prime[j]*i]=f[prime[j]*i/tmp]*f[tmp];
				break;
			}
			else	f[prime[j]*i]=f[prime[j]]*f[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=x;++i)	f[i]+=f[i-1];
}
long long excalc(long long x)
{
	return (f[x]<<1)-((x*(x+1))>>1);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&id,&t);
	if(id^7)
	{
		search(1000000);
		while(t--)
		{
			scanf("%d%d",&n,&m);
			printf("%lld
",calc(n,m));
		}
	}
	else
	{
		exsearch(10000000);
		while(t--)
		{
			scanf("%d%d",&n,&m);
			printf("%lld
",excalc(n));
		}
	}
	return 0;
}
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原文地址：https://www.cnblogs.com/orchid-any/p/14364267.html