P1417 烹调方案【泛化物品背包】

题目背景

由于你的帮助，火星只遭受了最小的损失。但gw懒得重建家园了，就造了一艘飞船飞向遥远的earth星。不过飞船飞到一半，gw发现了一个很严重的问题：肚子饿了~

gw还是会做饭的，于是拿出了储藏的食物准备填饱肚子。gw希望能在T时间内做出最美味的食物，但是这些食物美味程度的计算方式比较奇葩，于是绝望的gw只好求助于你了。

题目描述

一共有n件食材，每件食材有三个属性，ai，bi和ci，如果在t时刻完成第i样食材则得到ai-t*bi的美味指数，用第i件食材做饭要花去ci的时间。

众所周知，gw的厨艺不怎么样，所以他需要你设计烹调方案使得美味指数最大

输入格式

第一行是两个正整数T和n，表示到达地球所需时间和食材个数。

下面一行n个整数，ai

下面一行n个整数，bi

下面一行n个整数，ci

输出格式

输出最大美味指数

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

说明/提示

【数据范围】

对于40%的数据1<=n<=10

对于100%的数据1<=n<=50

所有数字均小于100,000

【题目来源】

tinylic改编

思路

　　第一眼觉得是一个01背包问题，写了写过了样例，但是只能过6个点。

　　然后发现由于时间不同，实际上每个物品的价值也会受到影响。

　　一种物品在不同的时间上可以看作是多种物品。

　　可以用数学归纳法证明：

假设对于相邻的两个时间点x和y
分别有两种不同的价值
若先选x(也就是后选y，t[x]=t+c[x],t[y]=t+c[x]+c[y]):
v1=a[x]-(t+c[x])*b[x]+a[y]-(t+c[x]+c[y])*b[y]
若先选y：
v2=a[y]-(t+c[y])*b[y]+a[x]-(t+c[y]+c[x])*b[x]
假定先选x价值大
将v1、v2去括号展开，相减

最终得到：c[y]*b[x]>c[x]*b[y];

　　由此，保证了取得局部最优解的情况下进行01背包，就可以求解出答案了

CODE

#include <bits/stdc++.h>
#define dbg(x) cout << #x << "=" << x << endl
#define eps 1e-8
#define pi acos(-1.0)

using namespace std;
typedef long long LL;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

template<class T>inline void read(T &res)
{
    char c;T flag=1;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;res=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0';res*=flag;
}

namespace _buff {
    const size_t BUFF = 1 << 19;
    char ibuf[BUFF], *ib = ibuf, *ie = ibuf;
    char getc() {
        if (ib == ie) {
            ib = ibuf;
            ie = ibuf + fread(ibuf, 1, BUFF, stdin);
        }
        return ib == ie ? -1 : *ib++;
    }
}

int qread() {
    using namespace _buff;
    int ret = 0;
    bool pos = true;
    char c = getc();
    for (; (c < '0' || c > '9') && c != '-'; c = getc()) {
        assert(~c);
    }
    if (c == '-') {
        pos = false;
        c = getc();
    }
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getc()) {
        ret = (ret << 3) + (ret << 1) + (c ^ 48);
    }
    return pos ? ret : -ret;
}

const int maxn = 1e5 + 7;

int T, n;

struct node {
    LL a, b, c;
} v[maxn];

LL f[maxn];

bool cmp(node x, node y) {
    return x.b * y.c > y.b * x.c;
}

int main()
{
    read(T);
    read(n);
    memset(f, -1, sizeof(f));
    f[0] = 0;
    for ( int i = 1; i <= n; ++i ) {
        read(v[i].a);
    }
    for ( int i = 1; i <= n; ++i ) {
        read(v[i].b);
    }
    for ( int i = 1; i <= n; ++i ) {
        read(v[i].c);
    }
    LL ans = INT_MIN;
    sort(v + 1, v + n + 1, cmp);
    for ( int i = 1; i <= n; ++i ) {
        for ( int j = T; j >= v[i].c; --j ) {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i].c] + v[i].a - (LL)j * v[i].b);
            //ans = max(f[j], ans);
        }
    }
    for ( int i = 0; i <= T; ++i ) {
        ans = max(ans, f[i]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}