感觉很不错的数学题，可惜又是看了题解才做出来的
题目大意：给定一个数n，找到8888....(x个8)这样的数中，满足能整除n的最小的x,若永远无法整除n 则输出0
做了这个题和后面的poj3358给我的感觉是这种复杂的数学题一定要哦上手去写，光想永远是想不出来的= =
做法：
基于欧拉定理：若gcd(a,m)=1 ,则满足 a^φ(m) mod m=1， 即 a-1=k*m
88888（x个8）可以表示为 (10^x-1)/9*8，整除n
于是可以设 (10^x-1)/9*8=n*k ,移项得到 10^x-1=k*n*9/8
一看，刚好满足 a-1=k*m的形式,由于 n*9/8不一定为整数，所以我们令 m=n*9/gcd(n,8) 替代一个k=k*gcd(n,8)/8当作未知数
所以得到同余方程 10^x mod m=1
首先判断是否有解
由于 a mod m=gcd(a,m)的倍数 当gcd(10,m)>1时，显然无解，反之 则有解。
由欧拉定理只 φ(m)为此方程的一个解，但不一定是最小解
由于mod 乘法是有循环节的，由于 10^0 mod m=1成立 即对0，和φ(m)都成立，所以循环节要么是φ(m)，要么是φ(m)的约数
所以我们只需要对φ(m)进行素因子分解，判断是否满足同余方程，就可以找到最小的解
代码：
#include <iostream> #include <stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> #include<string> #include<ctype.h> using namespace std; #define I64d lld long long gcd(long long a,long long b) { return b?gcd(b,a%b):a; } long long fac[100000]; long long nfac; long long phi(long long n) { long long res=n; for(long long i=2;i*i<=n;i++) { if(n%i==0) { res=res-res/i; while(n%i==0) n/=i; } } if(n>1) res=res-res/n; //可能还有大于sqrt(n)的素因子 return res; } long long random(long long n) { return (long long)(rand()%(n-1)+1); } long long multi(long long a,long long b,long long m)//a*b%m { long long res=0; while(b>0) { if(b&1) res=(res+a)%m; b>>=1; a=(a<<1)%m; } return res; } long long quickmod(long long a,long long b,long long m) //a^b%m { long long res=1; while(b>0) { if(b&1) res=multi(res,a,m); b>>=1; a=multi(a,a,m); } return res; } int check(long long a,long long n,long long x,long long t) { long long res=quickmod(a,x,n); long long last=res; for(int i=1;i<=t;i++) { res=multi(res,res,n); if(res==1&&last!=1&&last!=n-1) return 1; last=res; } if(res!=1) return 1; return 0; } int primetest(long long n) { if(n<2)return 0; if(n==2)return 1; if((n&1)==0) return 0; long long x=n-1; long long t=0; while((x&1)==0){x>>=1;t++;} for(int i=0;i<20;i++) { long long a=random(n); if(check(a,n,x,t)) return 0; } return 1; } long long pollardrho(long long n,long long c) { long long x,y,d,i,k; i=1;k=2; x=random(n); y=x; while(1) { i++; x=(multi(x,x,n)+c)%n; long long tmp=y-x>=0?y-x:x-y; d=gcd(tmp,n); if(d>1&&d<n) return d; if(y==x) return n; if(i==k) { y=x; k+=k; } } } void findfac(long long n) { if(n==1) return; if(primetest(n)) { fac[nfac++]=n; return; } long long p=n; while(p>=n) p=pollardrho(n,random(n-1)); findfac(p); findfac(n/p); } int main() { long long n,m; int cas=0; while(scanf("%I64d",&n),n) { cas++; m=n*9/gcd(n,8); if(gcd(m,10)!=1) { printf("Case %d: %d ",cas,0); continue; } long long p=phi(m); nfac=0; findfac(p); for(int i=0;i<nfac;i++) { p/=fac[i]; if(quickmod(10,p,m)!=1) p*=fac[i]; } printf("Case %d: %I64d ",cas,p); } return 0; }