辗转相除法的证明

辗转相除法的证明

 

　　设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数的步骤如下：用b除a，得a＝bq＋r（0≤r＜b）（q是这个除法的商）。若r=0,则b是a和b的最大公约数。若r≠0,则继续考虑。

 

　　首先，应该明白的一点是任何 a 和 b 的公约数都是 r 的公约数。要想证明这一点，就要考虑把 r 写成 r=a-bq。现在，如果 a 和 b 有一个公约数 d，而且设 a=sd , b=td, 那么 r = sd-tdq = (s-tq)d。因为这个式子中，所有的数（包括 s-tq )都为整数，所以 r 可以被 d 整除。

 

　　对于所有的 d 的值，这都是正确的；所以 a 和 b 的最大公约数也是 b 和 r 的最大公约数。因此我们可以继续对 b 和 r 进行上述取余的运算。这个过程在有限的重复后，可以最终得到 r=0 的结果，我们也就得到了 a 和 b 的最大公约数。