欧几里得算法

欧几里得算法

1. 算法简介

欧几里得算法是用来求解两个正整数的最大公约数（Greatest Common Divisor）的算法。

2. 算法过程

来源于百度百科。

假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：

1997 / 615 = 3 (余 152)

615 / 152 = 4(余7)

152 / 7 = 21(余5)

7 / 5 = 1 (余2)

5 / 2 = 2 (余1)

2 / 1 = 2 (余0)

至此，最大公约数为1

以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

3. 算法证明

证明：(gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)) 。

假设 (a = kb + r)。（(a, b, k, r) 都是正整数，且 (r < b)）

那么 (r = a mod b)。

假设 (d) 是 (a, b) 的一个公约数，而 (r = a - kb)。

那么有 (frac{r}{d} = frac{a}{d} - frac{kb}{d} = m)。由等式右边可知：(m) 是一个正整数。

因此 (d) 是 (r) 的因子，也就是说 (d) 是 (b) 和 ((a mod b)) 的公约数。

那么我们得到结论一：对于任意一个((a,b))的公约数，他一定也是((b,a mod b)) 的公约数。

接下来假设 (d) 是 ((b,a mod b)) 的一个公约数，将 (r = a - kb) 两边同时除以 (d)，即：(frac{r}{d} = frac{a}{d} - frac{kb}{d}).

由于 (r = a mod b)，即 (d) 是 (r) 的因子，那么等式右边一定是一个整数，又由于 (d) 是 (b) 的约数，那么 (frac{kb}{d}) 一定是一个整数，那么 (frac{a}{d}) 也一定是一个整数，即 (d) 是 (a) 的因子，也就是说 (d) 是 ((a,b)) 的公约数。

那么我们得到结论二：对于任意一个((b,a mod b)) 的公约数，他一定也是((a,b)) 的公约数。

由结论一和结论二可以得出：(gcd(a, b) = gcd(b, a mod b))。

4. 具体代码

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}