信号和系统的定义
信号(signal)的定义:在数学上表示为,若干个独立变量的函数。
系统(system)的定义:在数学上表示为,将输入信号映射为输出信号的变换。
这个定义很棒,因为可以把我已知的一些代数知识联系上去。
首先,函数、映射、变换在我脑海中都是一个东西在不同背景的叫法。
由于函数满足了加法和标量乘法的封闭性,符合向量空间的定义,因此这里信号所表示的函数,以含一个独立变量为例,其实可以理解为是一个无限维的向量(可以想象每隔一段微小距离就取一个函数值)。
那么系统所做的工作,也就是把输入向量,转换为另一个输出向量。这个工作,基本上可以想象为一种坐标系变换,或者是一个施加变换的动作。如果是有限维的向量,如果这种变换是线性的,显然就是一个矩阵形式。
总之,信号就是一个映射,系统是一个对映射的映射。
当然这个定义之下有一些工程背景,比如信号函数值可能表示某些物理量,它的因变量可以表示时间、空间等。
这里面有两个背景我比较喜欢,语音信号(speech signal)和图像(image)。
语音信号是对时间的函数。
图像是对两个空间变量(长、宽)的函数。
连续时间信号与离散时间信号
首先,依照惯例,含一个自变量的信号,都把这个自变量看做是时间 t。
这里有一个连续时间信号(Continuous-Time Signal, CTS)和离散时间信号(Discrete-Time Signal, DTS)的概念。区分的特性是信号的自变量是连续还是离散的。
其实这两个概念的划分是非常自然的。
信号是一个函数,而连续函数往往出现在自然界和人的头脑中,只要放在计算机上面,都有一个将连续函数离散化的过程。因此,凡是在自然界或人脑中表达,那么常常是连续时间信号;凡是在计算机上表达,往往是离散时间信号。
有一些约定,对于 CTS,表示为 f(t);而对于 DTS,表示为 f[n]。前者像数学表达式,后者像数组。
信号功率和能量
功率(energy)和能量(energy)类似于密度和质量的关系,也类似于。
能量其实就是信号在定义域里的一种积分形式,CTS 的能量定义为:
其中 |·| 表示取模运算,确保函数值大于等于 0。即对于复数 a+bi 有:
而对应的 DTS 的能量定义从积分变为求和:
这两种形式还可以用极限表示,于是最后 CTS 和 DTS 的能量定义为:
能量对于时间取平均,就有了功率的概念:
关于能量和功率的定义,引出了信号的三种分类:
- 能量有限,此时功率必然等于 0。这种信号称为能量信号(energy signal)。
- 能量无限大,功率有限。这种信号称为功率信号(power signal)。
- 能量无限大,功率无限大。
参考
- Oppenheim A V, Willsky A S, Nawab S H. Señales y sistemas[M]. Pearson Educación, 1998.
- Rao K D, Tunga S. Signals and systems[M]. Birkhäuser, 2018.