1 ARMA时间序列机器特性
下面介绍一种重要的平稳时间序列——ARMA时间序列。
ARMA时间序列分为三种：
AR模型，auto regressiv model
MA模型，moving average model
ARMA模型，auto regressive moving average model
可证ARMA时间序列具有遍历性，因此可以通过它的一个样本估计自协方差函数及自相关函数。
2 ARMA、AR、MA模型的基础知识(略)
3 例：随机模拟下列序列，样本容量10000，其中样本符合均值为零，方差为1的标准正太分布。计算自相关值
MATLAB代码如下：
%% DEMO1
% 利用模型数据研究随机模拟下序列。计算自相关函数
clc;clear;
rng('default'); % 初始化随机种子，保持随机种子一致
elps = randn(1,10000); % 产生10000个服从正态分布的随机数
x(1) = 0; % 赋初始值
for j = 2:10000
x(j) = 0.8 * x(j-1) + elps(j) - 0.4 * elps(j-1); % 产生样本点
end
y = (x - mean(x)); % 把数据中心化处理
gama0 = var(x); % 求样本方差
for j = 1:10
gama(j) = y(j+1:end)*y(1:end-j)'/10000; %求自协方差函数
end
rho = gama/gama0; %求自相关函数
rho2 = autocorr(x); % 直接利用MATLAB工具箱求自相关函数。
disp([rho(1),rho(2),rho(4),rho(4)]);
disp([rho2(2),rho2(3),rho2(4),rho2(5)])
% 其自相关函数的计算结果基本一致
% 0.5430 0.4296 0.2551 0.2551
% 0.5430 0.4297 0.3396 0.2552
4 例：利用MATLAB计算自相关值
%% DEMO2
% 利用模型数据研究随机模拟下序列。计算偏自相关函数
clc;clear;
rng('default'); % 初始化随机种子，保持随机种子一致
elps = randn(1,10000); % 产生10000个服从正态分布的随机数
x(1) = 0; % 赋初始值
for j = 2:10000
x(j) = 0.8 * x(j-1) + elps(j) - 0.4 * elps(j-1); % 产生样本点
end
y = (x - mean(x)); % 把数据中心化处理
gama0 = var(x); % 求样本方差
L = 10;
for j = 1:L
gama(j) = y(j+1:end)*y(1:end-j)'/10000; %求自协方差
end
rho = gama/gama0; % 求自相关系数
f(1,1)=rho(1);
for k = 2:L
s1 = rho(k);s2=1; % 计算初始值
for j = 1:k-1
s1 = s1-rho(k-j)*f(k-1,j);
s2 = s2-rho(j)*f(k-1,j);
f(k,k)=s1/s2;
end
for j = 1:k-1
f(k,j) = f(k-1,j)-f(k,k)*f(k-1,k-j);
end
end
pcorr=diag(f)'; %提取偏相关函数
pcorr2=parcorr(x); %直接利用MATLAB工具箱计算偏相关函数
disp([pcorr(1),pcorr(2),pcorr(4),pcorr(4)]);
disp([pcorr2(2),pcorr2(3),pcorr2(4),pcorr2(5)])
% 利用公式和利用MATLAB工具箱计算的偏相关值基本一致
% 0.5430 0.1911 0.0057 0.0057
% 0.5431 0.1913 0.0694 0.0056
5 ARMA模型时间序列的建模与预报
步骤：
第一：首先进行模型的识别与定价，即要判断是AR（p），MA(q)，还是ARMA（p，q）模型的类别，并估计阶数p和q。其实这都是归结到模型的定阶问题。
第二：当定阶后，就要对模型参数进行估计。
第三：定阶与参数估计完成后，还有对模型进行检验，即要检验残差是否为平稳白噪声。若检验获得通过，则ARMA模型建模完成。
第四：作为时间序列建模后的一个重要应用，还要讨论ARMA模型的时间序列的预报。
6 MATLAB中的GARCH工具箱可以实现时间序列建模的功能。工具箱中的模型ARMAX（R，M，Nx）为ARMA模型函数。下面通过一些实例来进行建模的演示。
7 MATLAB中arima模型和arimax模型的区别
一元时间序列模型：arma和arima，具有差分和不差分的区别
多元时间序列模型：arimax，时间序列一维以上的不同时间序列，在先生生活中预测往往受很多因素的影响。
7.1 arima模型的参数说明：
7.1.1 如果差分为0的话就是arma模型。
7.1.2 创建
模式1：Md1 = arima % 创建一个0级别的ARIMA模型，也就是arima(0,0,0)
模式2：Md1 = arima(p,D,q) % 创建一个非季节性的线性时间序列模型，其中p为AR模型的阶数，D为几阶差分，q为MA模型的阶数
模式3：Md1 = arima(Name,Value) % 创建一个线性时间序列模型，采用增加额外选项、值的方式。Name是可选项，Value为选项的值。Name必须用(' ')这种内部引用方式。对应的格式可以是Name1,Value,Name2,Value2.....
7.1.3 创建方法：
方法一：如果直接输入采用模式2的形式Md1 = arima(p,D,q)的方式；Md1 = arima(1,1,1) % 表示一阶差分的AR1,MA1模型。但是这个模型没有任何的参数。是属于首先建立整个模型的结构框架的形式：
因此：输出的也是一个对象引用的内容：
Md1 =
ARIMA(1,1,1) Model:
--------------------
Distribution: Name = 'Gaussian'
P: 2
D: 1
Q: 1
Constant: NaN
AR: {NaN} at Lags [1]
SAR: {}
MA: {NaN} at Lags [1]
SMA: {}
Variance: NaN
方法二：对应Name-Value的变量输入方式。其实这些Name和Value的键和值也是这个对象里面的内容。因此这里把所有的键和值列出来。进行解释一下。
键：'AR'
解释：非季节自回归的参数。默认为空NaNs
键：'ARLags'
解释：与AR系数相关的正整数滞后向量。默认为1,2
键：'Beta'
解释：与AR系数相关的正整数滞后向量。默认[ ]；非回归系数回归内容
键：'Constant'
解释：线性时间序列中的标量常数，也就是常数项。默认NaN；
键：'D'
解释：非负整数表示的非季节性差分滞后算子多项式的次数（非季节性的一体化程度）在线性时间序列。默认0；
键：'Distribution'
解释：创新过程的条件概率分布。分布是“高斯”或“T”。或者，将其指定为具有字段名称的数据结构，以存储分布“高斯”或“T”。如果分布是“t”，则结构也需要字段自由度来存储自由度。默认高斯分布；
键：'MA'
解释：非季节性移动平均系数对应于可逆多项式细胞载体。当未指定malags，马是一种细胞载体的系数在滞后1，…对非季节性移动平均多项式的次数。当指定的MALags，马是一个相当长的细胞载体与MALags的滞后相关系数。默认NaN；
键：'MALags'
解释：与MA系数相关的正整数滞后向量。默认0；
键：'SAR'
解释：季节AR模型。
键：'SARLags'
解释：。
键：'SMA'
解释：。
键：'SMALags'
解释：。
键：'Seasonality'
解释：
线性时间序列模型中季节性差分滞后算子多项式的非负整数。默认为0；
键：'Variance'
解释：模型创新的正标量方差，或支持的条件方差模型对象（例如，GARCH模型对象）。
7.1.4 建模举例：
比如有这么一个模型ARIMA(2,1,1)
表达式如下：
对应的MATLAB建模公式如下：
tdist = struct('Name','t','DoF',10);
model = arima('Constant',0.4,'AR',{0.8,-0.3},'MA',0.5,'D',1,'Distribution',tdist,'Variance',0.15)
对应对象里面的内容如下：
model =
ARIMA(2,1,1) Model:
--------------------
Distribution: Name = 't', DoF = 10
P: 3
D: 1
Q: 1
Constant: 0.4
AR: {0.8 -0.3} at Lags [1 2]
SAR: {}
MA: {0.5} at Lags [1]
SMA: {}
Variance: 0.15
解释：Constant：对应的是常数项：0.4
AR：对应的是AR模型的滞后项的参数：0.8 -0.3
MA：对应的是MA模型的参数：0.5
D：为一阶差分形式
Distribution：tdist，如果加上分布，这里用一个结构体来说明，这里指的是t分布，有10个自由度。也可以不加这个分布，默认为高斯分布。
Variance：指的是常数项的方差是0.5，在有些教材中一般都是在公式下面打一个小括号，对应每一个参数的表示方差(0.5)
8 其他相关配套函数
| estimate | Estimate ARIMA or ARIMAX model parameters |
| filter | Filter disturbances using ARIMA or ARIMAX model |
| forecast | Forecast ARIMA or ARIMAX process |
| impulse | Impulse response function |
| infer | Infer ARIMA or ARIMAX model residuals or conditional variances |
| Display parameter estimation results for ARIMA or ARIMAX models | |
| simulate | Monte Carlo simulation of ARIMA or ARIMAX models |
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..................................