排序算法
1. 排序算法概述
1.1 什么是排序算法？
对一序列对象根据某个关键字，按照某种规则进行排序
1.2 排序术语
- 稳定：如果a原本在b前面，而a=b，排序之后a仍然在b的前面
- 不稳定：如果a原本在b的前面，而a=b，排序之后a可能会出现在b的后面
- 内排序：所有排序操作都在内存中完成
- 外排序：由于数据太大，因此把数据放在磁盘中，而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行
- 时间复杂度： 一个算法执行所耗费的时间。
空间复杂度：运行完一个程序所需内存的大小
1.3 算法总结
- （注意：n指数据规模；k指“桶”的个数；In-place指占用常数内存，不占用额外内存；Out-place指占用额外内存）
1.4 算法分类
1.5 比较排序与非比较排序
1.5.1 比较排序
- 常见的快速排序、归并排序、堆排序、冒泡排序等属于比较排序。在排序的最终结果里，元素之间的次序依赖于它们之间的比较。每个数都必须和其他数进行比较，才能确定自己的位置。在冒泡排序之类的排序中，问题规模为n，又因为需要比较n次，所以平均时间复杂度为(O(n²))。在归并排序、快速排序之类的排序中，问题规模通过分治法消减为(log n)次，所以时间复杂度平均(O(nlogn))。比较排序的优势是，适用于各种规模的数据，也不在乎数据的分布，都能进行排序。可以说，比较排序适用于一切需要排序的情况。
1.5.2 非比较排序
- 计数排序、基数排序、桶排序则属于非比较排序。非比较排序是通过确定每个元素之前，应该有多少个元素来排序。针对数组arr，计算arr[i]之前有多少个元素，则唯一确定了arr[i]在排序后数组中的位置。非比较排序只要确定每个元素之前的已有的元素个数即可，所有一次遍历即可解决。算法时间复杂度(O(n))。非比较排序时间复杂度底，但由于非比较排序需要占用空间来确定唯一位置。所以对数据规模和数据分布有一定的要求。
2. 排序算法具体实现
2.1 冒泡排序
2.1.1 算法思想
- 冒泡排序是一种简单的排序算法。它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。
2.1.2 算法描述
-
比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换它们两个
-
对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对，这样在最后的元素应该会是最大的数；
-
针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个；
-
重复步骤1~3，直到排序完成。
从前往后将最大的拍到后面
从后往前将最小的排到前面
2.1.3 算法实现
（1）数组线性表
/**
* 冒泡排序-数组线性表排序算法
*/
public void bubbleSort(){
if(this.size <= 1){
return ;
}
for(int i = 0;i<this.size;i++){
boolean didSwap = false;
for(int j = 0;j<this.size-i-1;j++){
if(((Comparable<E>)objects[j+1]).compareTo((E)objects[j])<0){
Comparable<E> temp =(Comparable<E>) objects[j+1];
objects[j+1] = objects[j];
objects[j] = temp;
didSwap = true;
}
}
if(!didSwap){
return ;
}
}
}
（2）链式线性表
/**
* 冒泡排序-链式表排序算法
*/
public void bubbleSort(){
if(this.head.next == null||this.head.next.next==null){
return ;
}
//后面已经浮上来的（排好序的）头结点
Node<E> sortedHead = null;
//第一个存储元素的结点
Node<E> first = head.next;
for(Node<E> outCur = head.next;outCur!=null;outCur = outCur.next){
Node<E> cur = first;
for(Node<E> afterCur = first.next;afterCur!=sortedHead;afterCur = afterCur.next,cur = cur.next){
if(cur.elem.compareTo(afterCur.elem)>0){
Node.swapElem(cur, afterCur);
}
}
sortedHead = cur;
}
}
2.1.4 算法分析
- 最佳情况：(T(n) = O(n))
- 此时数组为正序排列，如果第一次检测没有发生交换，则可以认为为正序排列，则可以直接退出
- 最差情况：(T(n) = O(n^2))
- 逆序排列，对于每个位置都需要进行交换
- 平均情况：(T(n) = O(n^2))
2.2排序
2.2.1 算法思想
- 选择排序(Selection-sort)是一种简单直观的排序算法。它的工作原理：首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。
2.2.2 算法描述
n个记录的直接选择排序可经过n-1趟直接选择排序得到有序结果。具体算法描述如下：
-
初始状态：无序区为(R[1..n])，有序区为空；
-
第i趟排序((i=1,2,3…n-1))开始时，当前有序区和无序区分别为(R[1..i-1])和(R(i..n）)。该趟排序从当前无序区中-选出关键字最小的记录 (R[k])，将它与无序区的第1个记录R交换，使(R[1..i])和(R[i+1..n))分别变为记录个数增加1个的新有序区和记录个数减少1个的新无序区；
-
n-1趟结束，数组有序化了。
2.2.3 算法实现
（1）数组线性表
public class SelectionSorter<E extends Comparable<E>> implements Sorter<E> {
@Override
public void sort(E[] elemArr){
for(int i = 0;i < elemArr.length;i++){
int minIndex = i;
for(int j = i;j<elemArr.length;j++){
if(elemArr[j].compareTo(elemArr[minIndex])<0){
minIndex = j;
}
}
E temp = elemArr[i];
elemArr[i] = elemArr[minIndex];
elemArr[minIndex] = temp;
}
}
}
（2）链式线性表
/**
* 插入排序
*/
public void selectionSort(){
if(this.head.next==null||this.head.next.next==null){
return ;
}
for(Node<E> outCur = head.next;outCur!=null;outCur = outCur.next){
Node<E> innerCur = outCur;
Node<E> afterInnerCur = innerCur.next;
Node<E> minNode = outCur;
for(innerCur = outCur;afterInnerCur!=null;innerCur = innerCur.next,afterInnerCur = afterInnerCur.next){
if(innerCur.elem.compareTo(minNode.elem)<0){
minNode = innerCur;
}
}
Node.swapElem(outCur,minNode);
}
}
2.3 插入排序
2.3.1 算法思想
- 插入排序（Insertion-Sort）的算法描述是一种简单直观的排序算法。
- 它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。
- 插入排序在实现上，通常采用in-place排序（即只需用到O(1)的额外空间的排序），因而在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。
2.3.2 算法描述
-
从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序
-
取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描
-
如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置
-
重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置
-
将新元素插入到该位置后
-
重复步骤2~5
2.3.3 算法实现
public class InsertSorter<E extends Comparable<E>> implements Sorter<E> {
@Override
public void sort(E[] arr) {
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
for (int j = i;j > 0;--j) {
if (arr[j].compareTo(arr[j - 1]) < 0) {
E temp = arr[j];
arr[j] = arr[j - 1];
arr[j - 1] = temp;
} else {
break;
}
}
}
}
}
2.3.4 算法分析
- 最佳情况：(T(n) = O(n)) 序列本身有序（每次选取的第一个无序点都大于有序序列的最大值）
- 最差情况：(T(n) = O(n^2)) 序列为逆序（每次选取的无序序列都需要移动到有序序列最前面(1+2+...+(n-1)=frac{(n-1)n}{2})）
- 平均情况：(T(n) = O(n^2))
2.4 希尔排序
2.4.1 算法思想
- 希尔排序也是一种插入排序，它是简单插入排序经过改进之后的一个更高效的版本，也称为缩小增量排序，同时该算法是冲破(O(n^2))的第一批算法之一。
- 它与插入排序的不同之处在于，它会优先比较距离较远的元素。
- 希尔排序又叫缩小增量排序。希尔排序是把记录按下表的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止
- 该方法实质上是一种分组插入方法
- 增量序列的最后一个增量值必须等于1
2.4.2 算法描述
- 选择增量(gap=length/2)，缩小增量继续以(gap = gap/2)的方式，这种增量选择我们可以用一个序列来表示，(T={n/2,(n/2)/2,...,1})，称为增量序列。
- 采用上述增量序列因为增量序列难以通过数学证明求出，所以选择一个常用的增量序列 ，上述增量序列也被称为希尔增量。
- 但其实这个增量序列不是最优的
- 采用上述增量序列因为增量序列难以通过数学证明求出，所以选择一个常用的增量序列 ，上述增量序列也被称为希尔增量。
- 按增量序列个数k，对序列进行k 趟排序
- 每趟排序，根据对应的增量ti，将待排序列分成若干长度为m 的子序列，分别对各子表进行直接插入排序。
- 仅增量因子为1时，整个序列作为一个表来处理，表长度即为整个序列的长度
2.4.3 算法实现
package com.sort;
/**
* @author Ni187
*/
public class ShellSorter<E extends Comparable<E>> implements Sorter<E> {
@Override
public void sort(E[] arr) {
for (int gap = arr.length / 2; gap > 0; gap /= 2){
for(int i=gap; i<arr.length; i++){
for(int j=i-gap; j>=0&&arr[j].compareTo(arr[j+gap])>0; j=j-gap){
E temp = arr[j];
arr[j] = arr[j+gap];
arr[j+gap] = temp;
}
}
}
}
}
2.4.4 算法分析
- 最佳情况：(T(n)=O(n^2))
- 最坏情况：(T(n)=O(nlog(2n)))
- 平均情况：(T(n)=O(nlog(2n)))
2.5 归并排序
2.5.1 算法思想
- 归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。
- 该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。
- 归并排序是一种稳定的排序方法。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为2-路归并
2.5.2 算法描述
-
把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列
-
对这两个子序列分别采用归并排序
-
将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列
2.5.3 算法实现
package com.sort;
import java.util.Arrays;
/**
* @author Ni187
*/
public class MergeSorter<E extends Comparable<E>> implements Sorter<E> {
@Override
public void sort(E[] arr) {
Object[] mergedArr = new Object[arr.length];
sort(arr, 0, arr.length-1,mergedArr);
}
public void sort(E[] arr, int left, int right,Object[] mergedArr) {
if (right<=left) {
return;
}
int mid = (left + right) / 2;
sort(arr, left, mid,mergedArr);
sort(arr, mid+1 , right,mergedArr);
merge(arr, left, mid, right,mergedArr);
}
private void merge(E[] arr, int left, int mid, int right,Object[] mergedArr) {
int i = left;
int j = mid + 1;
int index = 0;
while (i <= mid && j <= right) {
if (arr[i].compareTo(arr[j]) <= 0) {
mergedArr[index++] = arr[i++];
} else {
mergedArr[index++] = arr[j++];
}
}
while (i <= mid) {
mergedArr[index++] = arr[i++];
}
while (j <= right) {
mergedArr[index++] = arr[j++];
}
index = 0;
while(left <= right){
arr[left++] = (E)mergedArr[index++];
}
}
}
2.5.5 算法分析
- 每次合并操作的平均时间复杂度为(O(n))，而完全二叉树的深度为(logn)。总的平均时间复杂度为(O(nlogn))
- 归并排序的最好，最坏，平均时间复杂度均为(O(nlogn))
- 由于使用辅助数组来存储归并的数组，空间复杂度为(O(n))
2.6 快速排序
2.6.1 算法思想
- 通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序
2.6.2 算法描述
- 从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）；
- 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作
- 挖坑法
- 交换法
- 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序
2.6.3 算法实现
- 此处使用交换法实现
package com.sort;
import java.util.Random;
/**
* @author Ni187
*/
public class QuickSorter<E extends Comparable<E>> implements Sorter<E> {
@Override
public void sort(E[] arr) {
QuickSort(arr, 0, arr.length-1);
}
public void QuickSort(E[] array, int start, int end) {
if (start > end) {
return ;
}
int smallIndex = partition(array, start, end);
QuickSort(array, start, smallIndex - 1);
QuickSort(array, smallIndex + 1, end);
}
public int partition(E[] array, int left, int right) {
int pivot = (int) (left + Math.random() * (right - left));
E basic = array[pivot];
while(left!=right){
while(left < right && array[right].compareTo(basic)>=0){
right--;
}
while(left < right && array[left].compareTo(basic)<=0){
left++;
}
swap(array, left, right);
}
array[left]=basic;
return left;
}
public void swap(E[] array, int i, int j) {
E temp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = temp;
}
}
2.5.4 算法分析
- 最好情况：每次选择的基数恰好把两侧分开（左侧小于基数，右侧大于基数），每次扫描n,共分成logn,时间复杂度为(O(logn))
- 最坏情况：每次选择的基数恰好位于两侧之一，每次扫描n,共分成n,时间复杂度为(O(n^2))
- 平均：复杂度(O(nlog n))