一、内生冲击和外生冲击
灾变可以分为两类，即内生灾变（如由于认为因素而造成的部分经济大波动和金融市场崩盘、社会动荡和暴动等）和外生灾变（如来自自然界的灾害、部分经济大波动和金融市场崩盘、传染病、动物疫情等）。内生灾变是复杂适应系统通过内部动力学演化自组织产生的，在系统演化趋向灾变的过程中，必然会出现各种反常现象而留下蛛丝马迹，从而使预警成为可能；外生灾变则来自系统之外，从而无法通过观测系统的内部活动获取外生灾变的任何相关信息，因而无法预测。与此同时，复杂系统对内生灾变和外生灾变的响应通常呈现不同的规律性。因此，认识灾变的来源往往有助于掌握灾变（内生的和外生的）发生后系统的演化情况，从而制定相应对策，有效地减少灾变可能造成的危害。
索内特和黑尔姆施泰特提出了一个平均场理论，探讨了具有记忆性的复杂系统活动性$A(t)$对内生冲击和外生冲击的响应。设复杂系统的记忆函数（或记忆核）为$K(t)$，系统的扰动为某一噪声函数$eta( au)$，则活动性$A(t)$可视为系统对历史摄动的累积响应：
$A(t)=int_{-infty }^{t}eta( au )K(t- au)d au$ (7.1)
不失一般性，设在时刻t=0有一外生冲击施于系统，其幅度为$A_0$，则该外生冲击可以表述为狄拉克函数$A_0delta( au)+eta( au)$，带入(7.1)式得：
$A(t)=int_{-infty }^{t}[A_0delta( au)+eta( au)]K(t- au)d au=A_0K(t)+int_{-infty }^{t}eta( au)K(t- au)d au$ (7.2)
系统对外生冲击的数学期望为：
$E_{exo}[A(t)|A(0)=A_0]=A_0K(t)+nleft langle eta ight angle$ (7.3)
其中，$left langle eta ight angle$为平均噪声水平，$n=int_{0}^{+infty }K( au)d au$为一个摄动对系统的平均影响力。可以看到，外生冲击对系统的影响是线性的。
当系统不经历外生冲击时，由于系统内部动力学的作用，仍会自组织地爆发大的波动，即内生冲击。同样地，可设一个强度为$A(t=0)=A_0$的灾变在时刻$t=0$爆发。显然，产生一个大的内生冲击需要特定的系列摄动来触发（也就是许多小事件的叠加影响）。不失一般性，假设$E[A(0)]=0$及$E[A(t)]=0$，则条件活动性为：
$E[A(t)|A(t=0)=A_0]=A_0frac{Cov[A(t),A(0)]}{E[A(0)^{2}]}$ (7.4)
由式(7.1)知$A(t)$与$A(0)$的协方差为：
$Cov[A(t),A(0)]=int_{-infty }^{0}K(t- au)K(- au)d au$ (7.5)
因而$A_0$的方差为：
$E[A(0)^2]=int_{-infty }^{0}[K(- au)]^2d au$ (7.6)
为常数，代入式(7.4)并作变量代换$ au ightarrow - au$得：
$E_{endo}[A(t)|A(0)=A_0]propto A_0int_{0}^{+infty}K(t+ au)K( au)d au$ (7.7)
二、记忆核函数
利用内生冲击和外生冲击的理论，可以用于研究金融市场的异常波动，并对其起因进行分类。这一分析乃是基于波动率的长期记忆性，因此，为研究金融市场对冲击的响应规律，首先需要确定记忆核函数的形式。我们已经知道，多重分形随机游走是描述金融市场行为的一个很好的模型。在该模型中，在时间尺度$Delta t$上的市场收益率$r_{Delta t}(t)=ln[p(t)/p(t-Delta t)]$可以用一个随机波动率模型表示：
$r_{Delta t}(t)=epsilon(t)sigma _{Delta t}(t)=epsilon(t)e^{omega _{Delta t}(t)}$ (7.37)
其中，$epsilon(t)$为高斯白噪声，$epsilon(t)$与$omega_{Delta t}(t)$不相关，$omega_{Delta t}(t)$（表示波动的对数）具有近似高斯分布，其均值为：
$mu _{Delta t}=frac{1}{2}ln(sigma ^2Delta t)-lambda ^2ln(Te^{3/2}/Delta t)$ (7.38)
其中，$sigma^2Delta t$为收益率$r_{Delta t}(t)$的方差；当$t<T$时（$T$为积分时间尺度），其协方差为：
$Cov[omega _{Delta t}(t),omega _{Delta t}(0)]=Cov[omega _{Delta t}(t+s),omega _{Delta t}(s)]=lambda ^2lnleft ( frac{T}{s+e^{-3/2}Delta t} ight )$ (7.39)
而当$t>T$时，其协方差$Cov[omega _{Delta t}(t),omega _{Delta t}(0)]=0$。
同样，多重分形随机游走模型可以用记忆核函数的形式表达，特别是$omega_{Delta t}(t)$可表示为：
$omega _{Delta t}(t)=mu _{Delta t}+int_{-infty }^{t}eta( au)K_{Delta t}(t- au)d au$ (7.40)
联列式(7.5)得：
$int_{0}^{+infty }K_{Delta t}(t)K_{Delta t}(t+ au)d au=lambda^2lnleft ( frac{T}{t+e^{-3/2}Delta t} ight )$ (7.41)
对上式作傅里叶变换并应用卷积定理后，再作逆变换，可得：
$K_{Delta t}(t)sim K_0sqrt{frac{lambda^2 T}{t}}, Delta tll tll T$ (7.42)
三、对外生冲击的线性响应
设在时刻$t=0$有一强度为$omega_0$的新闻冲击市场，则该市场的摄动噪声从$eta( au)$变为$eta( au)+omega_0eta( au)$，代入式(7.40)得：
$omega_{Delta t,exo}(t)=omega_0K_{Delta t}(t)+omega_{Delta t}(t)$ (7.43)
于是，条件波动率的数学期望为：
$E_{exo}[sigma_{Delta t}^{2}(t)|omega_0]=E_{exo}[e^{2omega_{Delta t,exo}(t)}|omega_0]=overline{sigma_{Delta t}^{2}}e^{2omega_0 K_{Delta t}(t)}$ (7.44)
其中$overline{sigma_{Delta t}^{2}}=E_{exo}[sigma_{Delta t}^{2}(t)]=sigma^2Delta t$ (7.45)
为样本方差，与时刻$t$无关。将式(7.42)带入式(7.44)，可得条件波动率余量
$E_{exo}[sigma_{Delta t}^{2}(t)|omega_0]-overline{sigma_{Delta t}^{2}}=overline{sigma_{Delta t}^{2}}e^{2omega_0K_{Delta t}(t)}-1approx 2overline{sigma_{Delta t}^{2}}omega_0K_0sqrt{frac{lambda^2T}{t}}$ (7.46)
其中$Delta tll tll T$，最后的约等式适用于$t$足够大的情形（泰勒展开）。[1]
索内特等人的实证研究很好地验证了上述理论。他们分析了日本的日经250指数、美国的标准普尔500指数和英国的FTSE指数对1991年8月19日发生在苏联的戈尔巴乔夫政局变化所作出的反应，以及法国巴黎CAC指数对发生在美国的911恐怖袭击的反应，他们用5分钟的高频数据计算“灾变”发生后指数的日度波动率，可得$Delta t$为1天时的平均波动率$overline{sigma_{Delta}^{2}}$和条件波动率$E_{exo}[sigma_{Delta t}^{2}(t)|omega_0]$序列，最后得到条件波动率累积余量。对所分析的4个累积余量作标度分布，发现它们满足
$int_{s=0}^{t}(E_{exo}[sigma_{Delta t}^{2}(s)|omega_0]-overline{sigma_{Delta t}^{2}})dssim t^{1/2}$ (7.47)
即式(7.46)的积分形式。作为对比，标普指数在1987年10月19日经历黑色星期一后波动率的累积余量与$t$之间没有类似的标度关系，可见美国股市在1987年的崩盘不是外界冲击引起的，而是经由股市内部动力学演化自组织产生的。
图1：几次冲击的条件波动率累积余量与$t$的标度关系图[1]
四、对内生冲击的响应
考虑金融市场在时刻$t=0$产生一个强度为$omega(t=0)=omega_0$的内生冲击。由于条件$omega(t)$过程亦近似为高斯过程，容易得到：
$E_{endo}[sigma_{Delta t}^{2}(t)|omega_0]=E_{endo}[e^{2omega_{Delta t}(t)}|omega_0]=e^{2E_{endo}[omega_{Delta t}(t)|omega_0]+2Var[omega_{Delta t}(t)|omega_0]}$ (7.50)
另一方面，参照式(7.14)，可以得到$omega_{Delta t}(t)$的条件均指
$E_{endo}[omega_{Delta t}(t)|omega_0]=E[omega_{Delta t}(t)]+frac{Cov[omega_{Delta t}(t),omega_{Delta t}(0)]}{Var[omega_{Delta t}(0)]}(omega_{Delta t}(0)-E[omega_{Delta t}(0)])=mu_{Delta t}+frac{Cov[omega_{Delta t}(t),omega_{Delta t}(0)]}{Var[omega_{Delta t}(0)]}(omega_0-mu_{Delta t})$ (7.51）
及条件方差
$Var_{endo}[omega_{Delta t}^{2}(t)|omega_0]=Var[omega_{Delta t}(t)]-frac{Cov[omega_{Delta t}(t),omega_{Delta t}(0)]^2}{Var[omega_{Delta t}(0)]}=Var[omega_{Delta t}(t)]left(1-frac{Cov[omega_{Delta t}(t),omega_{Delta t}(0)]^2}{Var[omega_{Delta t}(0)]^2} ight)$ (7.52)
引入参数$s=omega_0-frac{1}{2}lnoverline{sigma_{Delta t}^{2}}$ (7.53)
代入式(7.50)可得：
$E_{endo}[sigma_{Delta t}^{2}(t)|omega_0]=overline{sigma_{Delta t}^{2}}expleft [ frac{2(omega_0-mu_{Delta t})Cov[omega_{Delta t}(t),omega_0]}{Var[omega_0]} -frac{2Cov[omega_{Delta t}(t),omega_0]^2}{Var[omega_0]} ight ]=overline{sigma_{Delta t}^{2}}left(frac{T}{t} ight)^{alpha(s)+eta(t)}$ (7.54)
其中：
$alpha(s)=frac{2s}{ln(Te^(3/2)/Delta t)}$ (7.55)
$eta(t)=2lambda^2frac{ln(te^{3/2}/Delta t)}{ln(Te^(3/2)/Delta t)}$ (7.56)
当$Delta t<tllDelta te^{|s|/lambda^2}$时，$eta(t)llalpha(s)$，于是式(7.54)可简化为：
$E_{endo}[sigma_{Delta t}^{2}(t)|omega_0]sim t^{-alpha(s)}$ (7.57)
（这块推导没整明白）
金融市场对内生冲击的响应规律同样可用高频数据来验证。为计算时间间隔为$Delta t$的波动率$sigma_{Delta t}^{2}(t)$，数据的采样频率应高于$1/Delta t$。设高频收益率数据为$r_{delta t}(idelta t)$，则在时刻$t=nDelta t(n=1,2,cdots)$的波动率为：
$sigma _{Delta t}^{2}(t)=sum_{i=1}^{Delta t/delta t}[r_{delta t}(t-Delta t+idelta t)]^2$ (7.58)
而平均波动率$overline{sigma_{Delta t}^{2}}$为 $sigma_{Delta t}^{2}$的样本均值。任一$s$都对应一个大小为$e^{2s}overline{sigma_{Delta t}^{2}}$的冲击，找到$sigma_{Delta t}^{2}$中所有大小为$e^{2s}overline{sigma_{Delta t}^{2}}$的冲击发生的时刻，将此后的（条件）波动率的时间平移至冲击发生时刻后取平均，即得$E_{endo}[sigma_{Delta t}^{2}(t)|omega_0]$。索内特等人用美国股市的标准普尔100指数的5分钟高频数据，研究了$Delta t$为40分钟和1天时的条件波动率的衰减情况，计算出不同$s$对应的标度指数$alpha(s)$，发现$alpha(s)$与$s$之间呈现很好的线性关系，其斜率因$Delta t$而异。有趣的是，一个基于伊辛模型的多交易者微观市场的波动率也呈现类似的规律。
[1] D. Sornette, Y. Malevergne and J.-F. Muzy. Volatility Fingerprints of Large Shocks: Endogeneous Versus Exogeneous.