含义
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。
原理
X = s1(n-1)! + s2(n-2)! + s3(n-3)! + …… + sn-1 * 1! + sn * 0!
其中si表示在第i位右边比ai小的数的个数。
我们现在用sl表示第i位左边比ai小的数的个数，sr表示第i位右边比ai小的数的个数，显然可以得到如下等式：
ai = sl + sr + 1故公式中的si可以用上述等式计算：sr = ai - sl -1
依照上述原理，则{1,2,3,4,5}的一种全排列{3,4,1,5,2}可以映射为{2,2,0,1,0}
根据公式，该集合实际上表示的就是一个变进制数。
简便计算：X = ((s1 * (n-1) + s2) * (n-3) + s3) * (n-3) + ……
康托展开
暴力 O(n2):
为了便于讲解下面的线段树优化，此处选择维护vis数组的方式（当然直接比大小也是一样的）。
vis[j]用以记录j是否已出现，未出现为0，已出现为1。故a[i]左边比其小的数的个数就是vis[j]的和(j<a[i])。
计算ans时，由于最后一位固定是0，故只需计算到n-1位即可。
而所有全排列中比该序列小的有ans个，故该序列排在第ans+1位。
代码如下：
int Power_Cantor() { int ans=0; for(int i=1;i<=n-1;i++) { scanf("%d",&a[i]); int sum=0; for(int j=1;j<=a[i];j++)sum+=vis[j]; vis[a[i]]=1; a[i]-=sum+1; ans=(ans+a[i])*(n-i); } return ans+1; }
线段树优化 O(nlogn)：
我们用线段树结构存储vis数组，即可实现logn时间复杂度内求出结果。
代码如下：
int Cantor() { int ans=0; for(int i=1;i<=n-1;i++) { int now=a[i]; now-=query(1,1,n,1,a[i])+1; update(1,1,n,a[i],1); ans=(ans+now)*(n-i); } return ans+1; }
逆康托展开
首先是将所给的排列位数转变为我们所需的变进制数：
仍以{3,4,1,5,2}为例，其康托展开值为61：
用 61 / 4! = 2余13，则a[1] = 2，即首位右边比首位小的数有2个，所以首位为3。
用 13 / 3! = 2余1，则a[2] = 2，即在第二位之后小于第二位的数有2个，所以第二位为4。
用 1 / 2! = 0余1，则a[3] = 0，即在第三位之后没有小于第三位的数，所以第三位为1。
用 1 / 1! = 1余0，则a[4] = 1，即在第四位之后小于第四位的数有1个，所以第四位为5。
最后一位自然就是剩下的数2。
通过以上分析，所求排列组合为 34152。
依然是用线段树维护vis数组，建树时每一位都先赋值为1，表示所有数均未出现。
设对于当前这一位i，变进制数为a[i]，要求的数为x。目标是要在未出现的数中找比x小的数的个数为a[i]个的数的位置，相当于在区间[1，x]中找a[i]+1。
此处将a[i]+1记为s[i]。用二分查找x的位置：对于每一位s[i]，先求出左子树比x小的数的个数为sum，再看s是否有s[i]个：若有，说明结果在左子树，则继续往左子树找s[i]；若没有，则往右子树找s[i] - sum。
查找完后将vis[x]的值修改为0。
代码如下：
int search(int num) { int l=1,r=n; while(l<r) { int mid=l+r>>1; int find=query(1,1,n,l,mid); if(find>=num) r=mid; else{ l=mid+1; num-=find; } } return r; } void R_Cantor(int num) { num--; memset(a,0,sizeof a); build_tree(1,1,n); for(int i=1;i<=n;i++) { a[i]=num/(jc[n-i]); a[i]=search(a[i]+1); update(1,1,n,a[i],0); num%=jc[n-i]; } for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",a[i]); puts(""); }
附完整代码
#include <algorithm> #include <cstring> #include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e5+10; int n; int a[N],tree[3*N]; int jc[10]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; void out() { for(int i=1;i<=14;i++) { printf("tree[%d] = %d ",i,tree[i]); } puts(""); } void build_tree(int node,int start,int end) { if(start==end) { tree[node]=1; return; } int mid=start+end>>1; int left=2*node; int right=2*node+1; build_tree(left,start,mid); build_tree(right,mid+1,end); tree[node]=tree[left]+tree[right]; } void update(int node,int start,int end,int idx,int val) { if(start==end) { tree[node]=val; return; } int mid=start+end>>1; int left=2*node; int right=2*node+1; if(idx<=mid)update(left,start,mid,idx,val); else update(right,mid+1,end,idx,val); tree[node]=tree[left]+tree[right]; } int query(int node,int start,int end,int l,int r) { if(end<l || start>r)return 0; else if(start>=l && end<=r)return tree[node]; int mid=start+end>>1; int left=2*node; int right=2*node+1; return query(left,start,mid,l,r) + query(right,mid+1,end,l,r); } int Cantor() { int ans=0; for(int i=1;i<=n-1;i++) { int now=a[i]; now-=query(1,1,n,1,a[i])+1; update(1,1,n,a[i],1); ans=(ans+now)*(n-i); } return ans+1; //所有全排列中比该序列小的有ans个，故该序列排在第ans+1位 } int search(int num) { int l=1,r=n; while(l<r) { int mid=l+r>>1; int find=query(1,1,n,l,mid); // 先看左子树中未出现的比要求的数小的数的个数够不够num个 // 若足够，则继续往左子树找num // 若不够，则继续往右子树找 (num-已找到的个数) if(find>=num) r=mid; else{ l=mid+1; num-=find; } } return r; } void R_Cantor(int num) { num--; //该序列排在第num位，故比其小的全排列有num-1个。 memset(a,0,sizeof a); build_tree(1,1,n); for(int i=1;i<=n;i++) { a[i]=num/(jc[n-i]); a[i]=search(a[i]+1); update(1,1,n,a[i],0); num%=jc[n-i]; } for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",a[i]); puts(""); } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]); memset(tree,0,sizeof tree); int ans=Cantor(); // R_Cantor(62); printf("%d ",ans); return 0; }