XCOJ 1168 (搜索+期望+高斯消元法)

题目链接: http://xcacm.hfut.edu.cn/oj/problem.php?id=1168

题目大意：D是起点，E是终点。每次等概率往某个方向走，问到达终点的期望步数。到不了终点或步数超限输出tragedy!

解题思路：

如果某个点四周都不是障碍，不难有方程：

E（X,Y）= （1/4）E（X-1,Y）+ （1/4）E（X+1,Y）+ （1/4）E（X,Y-1）+ （1/4）E（X,Y+1）+1

变形为一般式，且系数化1：4*E（X,Y）-E（X-1,Y）- E（X+1,Y） - E（X,Y-1） - E（X,Y+1） = 4

更一般化，如果周围有cnt个点可去： cnt*E（X,Y）-E（X-1,Y）- E（X+1,Y） - E（X,Y-1） - E（X,Y+1） = cnt

对于不可达点（不一定是障碍）或终点：E（X,Y）= 0，这一步的处理很重要，不然会导致出现自由变元，导致无穷解。

那么本题思路很明显了：

①BFS或是DFS，标记各点的可达情况。

②对于每个点（元），首先看其是否为不可达点或是终点，令其系数为1后continue

如果不是，枚举四个方向，系数设为-1。最后该点系数为cnt，解向量初始化为cnt。

③高斯消元（本模板是高斯—约当消元法）。

④由于方程是把起点和终点逆过来列方程的，所以元[起点]的解才是最后的ans。（类似记忆化搜索的方式)

#include "cstdio"
#include "queue"
#include "cstring"
#include "algorithm"
#include "math.h"
using namespace std;
#define eps 1e-15
char map[15][15],s[15];
int n,m,T,sx,sy,ex,ey,vis[15][15],dir[4][2]={-1,0,1,0,0,-1,0,1},equ;
double ratio[105][105];
struct status
{
    int x,y;
    status(int x,int y):x(x),y(y) {}
};
void Bfs(int x,int y)
{
    queue<status> Q;Q.push(status(x,y));
    vis[x][y]=1;
    while(!Q.empty())
    {
        status t=Q.front();Q.pop();
        for(int s=0;s<4;s++)
        {
            int X=t.x+dir[s][0],Y=t.y+dir[s][1];
            if(X<0||Y<0||X>=n||Y>=m||vis[X][Y]||map[X][Y]=='X') continue;
            vis[X][Y]=1;
            Q.push(status(X,Y));
        }
    }
}
void Reset()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
    {
        if((i==ex&&j==ey)||!vis[i][j]) {ratio[i*m+j][i*m+j]=1;continue;}
        int cnt=0;
        for(int s=0;s<4;s++)
        {
            int x=i+dir[s][0],y=j+dir[s][1];
            if(x>=0&&y>=0&&x<n&&y<m&&map[x][y]=='.')
            {
                ratio[i*m+j][x*m+y]=-1;
                cnt++;
            }
        }
        ratio[i*m+j][equ]=ratio[i*m+j][i*m+j]=cnt;
    }
}
bool Gauss()
{
    for(int i=0;i<equ;i++)
    {
        int k=i;
        for(int j=i;j<equ;j++)
            if(fabs(ratio[j][i])>fabs(ratio[k][i])) k=j;
        swap(ratio[k],ratio[i]);
        if(fabs(ratio[i][i])<eps) return false;
        for(int j=i+1;j<=equ;j++) ratio[i][j]/=ratio[i][i];
        for(int j=0;j<equ;j++)
            if(i!=j)
                for(int k=i+1;k<=equ;k++) ratio[j][k]-=ratio[j][i]*ratio[i][k];
    }
    return true;
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        equ=n*m;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%s",&s);
            for(int j=0;j<strlen(s);j++)
            {
                map[i][j]=s[j];
                if(s[j]=='D') {map[i][j]='.';sx=i;sy=j;}
                if(s[j]=='E') {map[i][j]='.';ex=i;ey=j;}
            }
        }
        Bfs(sx,sy);
        Reset();
        bool ok=Gauss();
        if(ok&&ratio[sx*n+sy][equ]<=1000000) printf("%.2lf
",ratio[sx*n+sy][equ]);
        else printf("tragedy!
");
        memset(ratio,0,sizeof(ratio));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
    }
}

2709	2013217098	1168	Accepted	1148	88	C++	2668 B	2014-11-06 20:51:07