BZOJ 3612: [Heoi2014]平衡

3612: [Heoi2014]平衡

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Description

下课了，露露、花花和萱萱在课桌上用正三棱柱教具和尺子摆起了一个“跷跷板”。

这个“跷跷板”的结构是这样的：底部是一个侧面平行于地平面的正三棱柱教具，

上面摆着一个尺子，尺子上摆着若干个相同的橡皮。尺子有 2n + 1 条等距的刻度线，

第 n + 1 条刻度线恰好在尺子的中心，且与正三棱柱的不在课桌上的棱完全重合。

露露发现这个“跷跷板”是不平衡的（尺子不平行于地平面）。于是，她又在尺

子上放了几个橡皮，并移动了一些橡皮的位置，使得尺子的 2n + 1 条刻度线上都恰

有一块相同质量的橡皮。“跷跷板”平衡了，露露感到很高兴。

花花觉得这样太没有意思，于是从尺子上随意拿走了 k 个橡皮。令她惊讶的事

情发生了：尺子依然保持着平衡！

萱萱是一个善于思考的孩子，她当然不对尺子依然保持平衡感到吃惊，因为这

只是一个偶然的事件罢了。令她感兴趣的是，花花有多少种拿走 k 个橡皮的方法

，使得尺子依然保持平衡？

当然，为了简化问题，她不得不做一些牺牲——假设所有橡皮都是拥有相同质量的

质点。但即使是这样，她也没能计算出这个数目。放学后，她把这个问题交给了她

的哥哥/ 姐姐——Hibarigasaki 学园学生会会长，也就是你。当然，由于这个问题

的答案也许会过于庞大，你只需要告诉她答案 mod p 的值。

Input

第一行，一个正整数，表示数据组数 T（萱萱向你询问的次数）。

接下来 T 行，每行 3 个正整数 n, k, p。

Output

共 T 行，每行一个正整数，代表你得出的对应问题的答案。

Sample Input

10
6 5 10000
4 1 10000
9 6 10000
4 6 10000
5 1 10000
8318 10 9973
9862 9 9973
8234 9 9973
9424 9 9973
9324 9 9973

Sample Output

73
1
920
8
1
4421
2565
0
446
2549

HINT

T <= 20，1 <= n <= 10000，1 <= k <= 10，2 <= p <= 10000，且 k <= 2n+1。

Source

鸣谢佚名上传

分析：

可以把问题转化为整数划分问题...

$f[i][j]$代表把$i$划分为$j$个互不相同的不超过$n$的数字的方案数，我们先不考虑$n$的限制，那么$f[i][j]=f[i-j][j]+f[i-j][j-1]$，如果最小的数字为$1$那么把最后一排去掉就会减少一个数字，否则就还是$j$个数字，现在加上了$n$的限制，我们从$f[i-j][j]$转移到$f[i][j]$的时候，如果最大的数字是$n$，那么转移过来就是$n+1$，所以要去掉包含$n+1$的方案数，就等价于去掉最后一列，也就是减去$f[i-n-1][j-1]$的方案数...

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//by NeighThorn
using namespace std;

const int maxn=10+5,maxm=100000+5;

int n,k,p,ans,cas,f[maxm][maxn];

signed main(void){
	scanf("%d",&cas);f[0][0]=1;
	while(cas--){
		ans=0;
		scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
		for(int i=1;i<=n*k;i++)
			for(int j=1;j<=k&&j<=i;j++){
				f[i][j]=(f[i-j][j-1]+f[i-j][j])%p;
				if(i>=n+1) f[i][j]=(((f[i][j]-f[i-n-1][j-1])%p)+p)%p;
			}
		for(int i=1;i<=n*k;i++)
			for(int j=1;j<k;j++)
				(ans+=f[i][j]*f[i][k-j]%p)%=p;
		k--;
		for(int i=1;i<=n*k;i++)
			for(int j=1;j<k;j++)
				(ans+=f[i][j]*f[i][k-j]%p)%=p;
		if(!k)
			ans++;
		printf("%d
",ans);
	}
	return 0;
}

By NeighThorn