BZOJ 2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 259 MB
Submit: 7691 Solved: 3520
[Submit][Status][Discuss]

Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

HINT

Source

算法：莫队

莫队算法是离线处理区间不修改问题一种算法，如果一种询问可以满足ans[l,r]能够O(1)或者O(lgn)的转移到ans[l+1,r],ans[l-1,r],ans[l,r-1],ans[l,r+1]，就可以使用莫队算法...

分析：

先把式子列出来...

a[i]代表第i种数字的出现次数...

ans[l,r]=( a[1]*(a[1]-1)+a[2]*(a[2]-1)+a[3]*(a[3]-1)+......+a[n]*(a[n]-1) )/( (r-l)*(r-l+1) )
ans[l,r]=( Σa[i]*a[i]-Σa[i] )/( (r-l)*(r-l+1) )
ans[l,r]=( Σa[i]²-(r-l+1) )/( (r-l)*(r-l+1) )
然后我们发现对于每一个区间，我们所需要求的只是Σa[i]²...这个问题我们可以O(1)的把ans[l,r]转移到ans[l+1,r]...

首先我们对于所有的询问进行以左端点的块的标号为第一关键字右端点为第二关键字的排序...因为左端点在同一块的询问右端点是升序的，这个复杂度是O(n)的，而有n^0.5个块，所以总复杂度是O(n^1.5)的...

代码：

 1 #include<algorithm>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 //by NeighThorn
 6 #define int long long
 7 using namespace std;
 8 
 9 const int maxn=50000+5,blo=223;
10 
11 int n,m,tmp,co[maxn],id[maxn],cnt[maxn];
12 
13 struct M{
14     int l,r,num,a,b;
15 }q[maxn];
16 
17 inline bool cmp1(M x,M y){
18     if(id[x.l]==id[y.l])
19         return x.r<y.r;
20     return x.l<y.l;
21 }
22 
23 inline bool cmp2(M x,M y){
24     return x.num<y.num;
25 }
26 
27 inline int gcd(int x,int y){
28     return y==0?x:gcd(y,x%y);
29 }
30 
31 inline void change(int pos,int x){
32     tmp-=cnt[co[pos]]*cnt[co[pos]];
33     cnt[co[pos]]+=x;
34     tmp+=cnt[co[pos]]*cnt[co[pos]];
35 }
36 
37 signed main(void){
38     scanf("%lld%lld",&n,&m);
39     memset(cnt,0,sizeof(cnt));
40     for(int i=1;i<=n;i++)
41         scanf("%lld",&co[i]);
42     for(int i=1;i<=n;i++)
43         id[i]=(i-1)/blo+1;
44     for(int i=1;i<=m;i++)
45         scanf("%lld%lld",&q[i].l,&q[i].r),q[i].num=i;
46     sort(q+1,q+m+1,cmp1);tmp=0;
47     for(int i=1,l=1,r=0;i<=m;i++){
48         for(;l<q[i].l;l++)
49             change(l,-1);
50         for(;l>q[i].l;l--)
51             change(l-1,1);
52         for(;r<q[i].r;r++)
53             change(r+1,1);
54         for(;r>q[i].r;r--)
55             change(r,-1);
56         q[i].a=tmp-(q[i].r-q[i].l+1);
57         q[i].b=(q[i].r-q[i].l)*(q[i].r-q[i].l+1);
58         int lala=gcd(q[i].a,q[i].b);
59         if(lala)
60             q[i].a/=lala,q[i].b/=lala;
61     }
62     sort(q+1,q+m+1,cmp2);
63     for(int i=1;i<=m;i++)
64         printf("%lld/%lld
",q[i].a,q[i].b);
65     return 0;
66 }

View Code

by NeighThorn