1.(phi * I=id)
可以表示成(n=Sigma_{dmid n}phi(d))
对于证明这类的式子，一般有以下个步骤
1.证明(f(1))
2.证明(f(p))
3.证明(f(p^k))
4.证明(f(p_1^{k1}*p_2^{k2}))
5.证明普遍性
以欧拉函数的这一性质为例
1.(phi(1)=1),直接由定义得出
2.(phi(1)=1,phi(p)=p-1,phi(1)+phi(p)=p)
3.(Sigma^k_{i=0}phi(p^i)=1+Sigma^k_{i=1}phi(p^i)=1+Sigma^k_{i=1}p^{i-1}*(p-1)=1+(p-1)*(p^k-1)/(p-1)=p^k)
4.(p_1^{k1}*p_2^{k2}=Sigma_{d1mid p1^{k1}}phi(d1)*Sigma_{d2mid p2^{k2}}phi(d2)=Sigma_{dmid p_1^{k1}*p_2^{k2}}phi(d))
5.对于普遍的情况，依次拆成2个数利用性质4即可得出
即(phi * I=id)
2.(mu *I=epsilon)
这个性质并没有上面的复杂，只需要3个步骤即可证出
1.(mu(1)=1,epsilon(1)=1),由定义得
2.对于一个拥有重复质因子数的数，(mu(n)=0,epsilon(n)=0)
3.对于(n=Pi_{i=1}^kp_i),含有i项质数的项数为n-i+1,由组合数的性质(二项式定理)可得，奇项数等于偶项数，(mu(n)=0)
即(mu *I=epsilon)
3.(mu *id=phi)
由性质1，2可推出
4.在莫比乌斯反演中，有两条核心卷积式
1.(F=I*f)
2.(f=mu *F)
2式可由1式与性质2推得，用卷积来推要比直接拆开方便理解很多
——2020.5.4