圆
圆的标准方程 ((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2) 。圆心在 ((a,b)) 半径为 (r) 的圆。
圆的一般方程 (x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0) 。其中 (D = -2a,E = -2b,F = a^2 + b^2 - r^2) 。
变形后有 ((x + frac{D}{2})^2 + (y + frac{E}{2})^2 = frac{D^2 + E^2 - 4F}{4})
根据 (r^2 = frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}) 判断是否是圆的标准方程。
直线 (y = kx + b) 与圆 (x^2 + y^2 = r^2) 是否有交？([r geq frac{|b|}{sqrt{1+k^2}}]) 等号成立时相切。
椭圆
平面内有两个定点 (F_1,F_2) ，(a) 是一个常数。有 (|PF_1| + |PF_2| = 2a) 成立，那么 P 的轨迹称为椭圆，(F_1,F_2) 是椭圆的焦点，(|F_1F_2|) 是椭圆的焦距。
令 (F_1(-c,0) , F_2(c,0)) ,椭圆的方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1) ，其中 (b^2 = a^2 - c^2) 。
根据方程有 (-a leq x leq a,-b leq y leq b) 。
离心率为半焦距与半长轴长之比即 (e = frac{c}{a}) 。
由于 (b^2 = a^2 - c^2 > 0) 有 (a > b) 即 (0 < e = frac{c}{a} < 1) 。离心率 e 越趋近 1 椭圆越与圆接近。
双曲线
平面内有两个定点 (F_1,F_2) ，(a) 是一个常数。有 (| |PF_1| - |PF_2| | = 2a) 成立，那么 P 的轨迹称为双曲线，(F_1,F_2) 是双曲线的焦点，(|F_1F_2|) 是双曲线的焦距。
标准方程为 (frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1) 。其中有 (c^2 - a^2 = b^2) 。
根据方程有 (x leq -a) 或 (x geq a) 。
双曲线会逐渐渐进与直线 (y = frac{b}{a} x = sqrt{e^2 - 1} x) 。e 是离心率 (e = frac{c}{a} > 1) 。
(e = frac{c}{a} = sqrt{frac{a^2 + b^2}{a^2}}) 。