1，SVM算法的思考出发点
SVM算法是一种经典的分类方法。对于线性可分问题，找到那个分界面就万事大吉了。这个分界面可以有很多，怎么找呢？SVM是要找到最近点距离最远的那个分界面。有点绕，看下面的图就明白了
为了推导简单，我们先假设样本集是完全线性可分的，也就一个分界面能达到100%的正确率。
2，线性可分的情况
（1）优化目标的建立
最近点距离最远的分界面，这句话得用数学式子表示出来，这样才能用数学工具进行求解。
首先，假设分界面是y=wx+b，点(x_i)距离平面的距离用数学表达是(gamma_i=frac{y_i(wx_i+b)}{||w||})，这个是我们在中学学过的点到平面的距离，我们称之为几何距离。因为点分布在平面的两侧，所以这里乘以了(y_i)。
“最近点”该如何表达呢？
(gamma)
s.t (y_i(frac{wcdot x_i+b}{||w||})>=gamma, i=1,2,...N)
最近点距离最远的分界面，就是要上面的距离最大，用数学语言表示为
(max_{w,b} gamma)
s.t (y_i(frac{wcdot x_i+b}{||w||})>=gamma, i=1,2,...N)
到目前为止，我们的目标函数已经得到。
分析这个目标函数，这是个有约束的优化问题，但是要求解的w在分母上，为了方便求解，我们做一些整理，原优化问题为，
(max_{w,b}frac{y^*(wcdot x^*+b)}{||w||})
s.t (y_i(frac{wcdot x_i+b}{||w||})>=frac{y^*(wcdot x^*+b)}{||w||}, i=1,2,...N)
其实(y^*(wcdot x^*+b))的值对最终的结果没有影响，就像y=ax+b与2y=2ax+2b其实是一样，所以不妨让(y^*(wcdot x^*+b)=1)，这样目标函数变为，
(max_{w,b}frac{1}{||w||})
s.t (y_i(wcdot x_i+b)>=1, i=1,2,...N)
在考虑到最大化(frac{1}{||w||})和最小化(||w||^2)的等价的，目标函数可以写成如下形式
(min_{w,b}frac{1}{2}||w||^2)
s.t (y_i(wcdot x_i+b)>=1, i=1,2,...N)
这样就变成了一个容易求解的凸二次规划问题。
（2）优化目标的求解
对于凸二次规划问题，常用的求解方法就是拉格朗日对偶算法。
对偶问题和原问题的解是否相同呢？只有相同，我们才能用对偶算法。按照李航《统计学习方法》附录C，定理C.2，
回到我们的目标函数，因为数据线性可分，肯定存在w，使得所有不等式小于0（目标函数中的约束不等式取个负号，大于等于变成小于等于）。因此，我们可以通过求解对偶问题得到原始问题的解。
首先，构建拉格朗日函数，将不等式约束去除，
(L(w,b,alpha)=||w||^2-sum_{i=1}^Nalpha_iy_i(wcdot x_i+b)+sum_{i=1}^Nalpha_i)，要求(alpha_i>=0)
原始问题的对偶问题是极大极小问题，
(max_alpha min_{w,b}L(w,b,alpha))
下面开始求解这个问题
接下来求解相应的(alpha)，这里不在详述。
求解出(alpha)，根据定理C.3，求解原问题的解
假设(alpha^*)是对偶问题最优解，(w^*,b^*)是原始问题最优解，根据KKT条件成立，即得：
(1)( riangledown L(w^*,b^*,alpha^*)=w^*-sum_{i=1}^N alpha_i^* y_i x_i=0)，得到(w^*=sum_{i=1}^N alpha_i^* y_i x_i=0)
(2)( riangledown L(w^*,b^*,alpha^*)=-sum_{i=1}^N alpha_i^*y_i=0)
(3)(a_i^*(y_i(w^* cdot x_i+b^*)-1)=0),i=1,2,3..N
(4)(y_i(w^* cdot x_i+b^*)-1)>=0,i=1,2,..N
(5)(a_i^*>=0),i=1,2,...N
至少有一个(alpha_j>0)，这个可以用反证法证明，假设(alpha^*=0)，由（1）得(w^*=0)，但是(w^*=0)不是原问题的一个解，因此肯定存在(alpha_j>0)，那么根据（3）得到
(y_j(w^* cdot x_j+b^*)-1=0)
左后乘以(y_j得到)
(b^*=y_i-sum_{i=1}^N alpha_i^* y_i (x_i cdot x_j))
由此，得到了分类超平面的w和b，决策函数可以写成
(f(x) = sign(sum_{i=1}^N alpha_i y_i (x_i cdot x)+b^*)) （*）
由此可以看出，分类决策函数只依赖于输入x和训练样本的内积。前面分析过存在(alpha_j>0)，那么根据（3）可以得到(y_j(w^* cdot x_j+b^*)-1=0)，(alpha_j>0)对应的样本叫做支持向量，它们分布于分隔边界上。还有一部分样本，它们分布在分隔边界里，这些样本满足(y_i(w^* cdot x_i+b^*)-1>0)，那么根据（3）可知，这些样本对应的(alpha)分量为0。所以，从（*）式看到，一个新来的样本x被分成哪个类，至于支持向量有关，而与其它训练样本无关，因为它们对应的(alpha_i)为0.
3,线性可分但是存在异常点
实际情况中，用来训练模型的数据，很少有完全线性可分，总是存在部分异常点。而在2部分推导的模型，显然没有考虑这种情况。
在2部分得到的优化目标是
(min_{w,b}frac{1}{2}||w||^2)
s.t (y_i(wcdot x_i+b)>=1, i=1,2,...N)
为了使这个优化目标能够容忍异常，我们为每个样本点添加个松弛因子(xi_i)，容许这个点超出些界限，约束变成(y_i(wcdot x_i+b)>=1-xi_i, i=1,2,...N)。但是每个松弛因子的添加也不能不付出代价，所以最终的目标函数变成
(min_{w,b}frac{1}{2}||w||^2+Csum_{i=1}^{N}xi_i)
s.t (y_i(wcdot x_i+b)>=1-xi_i, i=1,2,...N)
(xi_i>=0,i=1,2,3...N)
目标函数的求解和2部分大同小异，这里不再推导，具体可参见李航《统计学习方法》第7章。最终结果是：
(w^*=sum_{i=1}^N alpha_i^* y_i x_i=0)
(b^*=y_i-sum_{i=1}^N alpha_i^* y_i (x_i cdot x_j))
形式上看和2部分相同，但是(y_i)的条件不同，这里不细述。
这里给出KKT条件，这有利于我们对支持向量的分析。
(1)( riangledown_w L(w^*,b^*,xi^*,alpha^*,mu^*)=w^*-sum_{i=1}^N alpha_i^* y_i x_i=0)，得到(w^*=sum_{i=1}^N alpha_i^* y_i x_i=0)
(2)( riangledown_b L(w^*,b^*,xi^*,alpha^*,mu^*)=-sum_{i=1}^N alpha_i^*y_i=0)
(3)( riangledown_xi L(w^*,b^*,xi^*,alpha^*,mu^*)=C-alpha^*- u^*=0)
(4)(a_i^*(y_i(w^* cdot x_i+b^*)-1+xi_i^*)=0),i=1,2,3..N
(5) u_i^*xi_i^*=0
(6)(y_i(w^* cdot x_i+b^*)-1+xi_i^*)>=0,i=1,2,..N
(7)(a_i^*>=0),i=1,2,...N
(8)(xi_i>=0),i=1,2,...N
(9)(mu_i^*>=0),i=1,2,...N
(alpha_i^*>0)的样本点的实例(x_i)称作为支持向量，在2部分，只有间隔边界上的点满足(alpha_i^*>0)。但是，当引入松弛变量时，情况变的复杂。
第一类点：间隔边界里面的点
这些点满足 (y_i(w^* cdot x_i+b^*)>1 )，由（4）得(alpha_i^*=0)，由（2）得(mu_i^*=0)，又由（5）得(xi_i^*=0)，
第二类点：间隔边界上的点
若(0<alpha_i^*<C)，则(xi_i^*=0)，支持向量落在间隔边界上。由（3）（4）(5)容易推得。
第三类点：间隔边界和分界线之间的点
若(alpha_i^*=C)，(0<xi_i^*<1)，则分类正确，(x_i)在间隔边界和分界线之间。由（3）（4）容易推得。
第四类点：分错的点
若(alpha_i^*=C)，(xi_i^*>1)，则样本位于误分一侧。由（3）（4）容易推得。
参考下图理解
4，线性不可分的情况
现实中，很多情况下两类样本是线性不可分的。SVM的思路是进行空间映射，将样本从不可分的空间映射到可分的空间。
从前两部分推导出来分隔面可以看出，
(f(x) = sign(sum_{i=1}^N alpha_i y_i (x_i cdot x)+b^*))
新来的样本只需与训练样本做点积即可得到label. 其实，样本如何从A空间映射到B空间并不是很重要，只要能够得到两个样本在新空间的点积就够了。核函数正是利用这一思想。它省掉了映射这一步，这一步可以非常复杂，因此，核函数的应用提高了效率。
常用的核函数有：多项式核函数，高斯核函数，字符串核函数。
核函数理论很丰富，这里不再详述。
参考: 李航《统计学习方法》