题解 (by;zjvarphi)
推一下式子：
[f(x)=mu(x)^2x\
mu(x)^2=sum_{d^2|x}mu(d)\
f(x)=xsum_{d^2|x}mu(d)\
]
原式就等于：
[sum_{i=1}^nisum_{d^2|i}mu(d)
]
调整枚举顺序：
[sum_{d=1}^{sqrt n}sum_{i=1}^{frac{n}{d^2}}mu(d)d^2i\
sum_{d=1}^{sqrt n}mu(d)d^2sum_{i=1}^{frac{n}{d^2}}i\
]
注意，文中的 (frac{n}{d^2}) 都是向下取整。
这里来证明一下为什么 (mu(x)^2=sum_{d^2|x}mu(d))：
如果 (x) 中没有平方因子，那么 (mu(x)^2) 为 (1) 而 (d=1) 时恰好贡献了 (1)。
如果有，那么考虑通过容斥的角度证明。
假设 (x) 中有 (k) 个平方质因子，那么选一个的时候被多减去了，在选两个的时候补回来，可以画一个维恩图理解一下。
其实也就是 (sum_{i=0}^n(-1)^iinom{n}{i})，其实就是二项式定理。
化完的式子直接整除分块即可，复杂度 (sqrt n+Tsqrt[3] n)。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define ri signed
#define pd(i) ++i
#define bq(i) --i
#define func(x) std::function<x>
namespace IO{
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
#define gc() p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?(-1):*p1++
#define debug1(x) std::cerr << #x"=" << x << ' '
#define debug2(x) std::cerr << #x"=" << x << std::endl
#define Debug(x) assert(x)
struct nanfeng_stream{
template<typename T>inline nanfeng_stream &operator>>(T &x) {
bool f=false;x=0;char ch=gc();
while(!isdigit(ch)) f|=ch=='-',ch=gc();
while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=gc();
return x=f?-x:x,*this;
}
}cin;
}
using IO::cin;
namespace nanfeng{
#define FI FILE *IM
#define FO FILE *OUT
template<typename T>inline T cmax(T x,T y) {return x>y?x:y;}
template<typename T>inline T cmin(T x,T y) {return x>y?y:x;}
using ull=unsigned long long;
static const int N=1e7+7;
int mu[N],prim[N],cnt,T;
bool vis[N];
ull sum[N],a;
auto Getmu=[]() {
const int n=N-7;
mu[1]=1;
for (ri i(2);i<=n;pd(i)) {
if (!vis[i]) mu[prim[++cnt]=i]=-1;
for (ri j(1);j<=cnt&&1ll*i*prim[j]<=n;pd(j)) {
const int cur=i*prim[j];
vis[cur]=true;
if (!(i%prim[j])) break;
mu[cur]=-mu[i];
}
}
for (ri i(1);i<=n;pd(i)) sum[i]=sum[i-1]+1ull*mu[i]*i*i;
};
auto cal=[](ull n) {return n&1?n*((n+1)/2):(n/2)*(n+1);};
auto calc=[](ull x) {
ull res=0,lim=sqrt(x);
for (ull l(1),r;l<=lim;l=r+1) {
r=cmax(l,(ull)sqrt(x/(x/l/l)));
res+=(sum[r]-sum[l-1])*cal(x/l/l);
}
return res;
};
inline int main() {
FI=freopen("kfc.in","r",stdin);
FO=freopen("kfc.out","w",stdout);
Getmu();
cin >> T;
for (ri i(1);i<=T;pd(i)) cin >> a,printf("%llu
",calc(a));
return 0;
}
}
int main() {return nanfeng::main();}