4518: [Sdoi2016]征途
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Description
Pine开始了从S地到T地的征途。
从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。
Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。
Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。
帮助Pine求出最小方差是多少。
设方差是v，可以证明，v×m^2是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出v×m^2。
Input
第一行两个数 n、m。
第二行 n 个数，表示 n 段路的长度
Output
一个数，最小方差乘以 m^2 后的值
Sample Input
5 2
1 2 5 8 6
Sample Output
36
HINT
1≤n≤3000,保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000
Source
鸣谢Menci上传
/*
斜率优化DP.
一开始写f[i][j]表示前i天走到j的最小方差.
f[i][j]=f[i-1][k]+(sum[j]-sum[k]-x)^2.
x=sum[n]/m.
然后卡精度了(我傻逼.
我们把m^2乘进去化简
然后就变成了
f[i][j]=f[i][k]+(sum[j]-sum[k])^2
f[i][j]表示右边这个东西的最小值.
ans=f[n][m]-sum[n]*sum[n].
这样显而易见是O(n^3)的.
然后用斜率优化维护下凸决策即可.
复杂度就变成了O(n^2).
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define MAXN 3001
#define LL long long
using namespace std;
LL n,m,f[MAXN][MAXN],sum[MAXN],q[MAXN];
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*f;
}
double slove(int t,int x,int y)
{
if(!x&&!y) return 1e9;
return double(f[t][y]-f[t][x]+m*(sum[y]*sum[y]-sum[x]*sum[x]))
/double(sum[y]-sum[x]);
}
void slove()
{
int head,tail;
memset(f,127/3,sizeof f);
f[0][0]=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
head=tail=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
while(head<tail&&slove(i-1,q[head],q[head+1])<2*m* sum[j]) head++;
f[i][j]=f[i-1][q[head]]+m*((sum[j]-sum[q[head]])*(sum[j]-sum[q[head]]));
if(tail) while(head<tail&&slove(i-1,q[tail-1],q[tail])>slove(i-1,q[tail],j)) tail--;
q[++tail]=j;
}
}
cout<<f[m][n]-sum[n]*sum[n];
}
int main()
{
int x;
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) x=read(),sum[i]=sum[i-1]+x;
slove();
return 0;
}