【PowerOJ1741&网络流24题】最长递增子序列问题（最大流）

题意：

思路：

【问题分析】

第一问时LIS，动态规划求解，第二问和第三问用网络最大流解决。

【建模方法】

首先动态规划求出F[i]，表示以第i位为开头的最长上升序列的长度，求出最长上升序列长度K。

1、把序列每位i拆成两个点<i.a>和<i.b>，从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1的有向边。

2、建立附加源S和汇T，如果序列第i位有F[i]=K，从S到<i.a>连接一条容量为1的有向边。

3、如果F[i]=1，从<i.b>到T连接一条容量为1的有向边。

4、如果j>i且A[i] < A[j]且F[j]+1=F[i]，从<i.b>到<j.a>连接一条容量为1的有向边。

求网络最大流，就是第二问的结果。把边(<1.a>,<1.b>)(<N.a>,<N.b>)(S,<1.a>)(<N.b>,T)这四条边的容量修改为无穷大，再求一次网络最大流，就是第三问结果。

【建模分析】

上述建模方法是应用了一种分层图的思想，把图每个顶点i按照F[i]的不同分为了若干层，这样图中从S出发到T的任何一条路径都是一个满足条件的最长上升子序列。由于序列中每个点要不可重复地取出，

需要把每个点拆分成两个点。单位网络的最大流就是增广路的条数，所以最大流量就是第二问结果。第三问特殊地要求x1和xn可以重复使用，只需取消这两个点相关边的流量限制，求网络最大流即可。

实质上也只有两层，不如叫裂点

单位网络的最大流就是增广路的条数这个性质需要记住

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 typedef long long ll;
  4 typedef unsigned int uint;
  5 typedef unsigned long long ull;
  6 typedef long double ld;
  7 typedef pair<int,int> PII;
  8 typedef pair<ll,ll> Pll;
  9 typedef vector<int> VI;
 10 typedef vector<PII> VII;
 11 typedef pair<ll,ll>P;
 12 #define N  100010
 13 #define M  1000000
 14 #define INF 1e9
 15 #define fi first
 16 #define se second
 17 #define MP make_pair
 18 #define pb push_back
 19 #define pi acos(-1)
 20 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 21 #define rep(i,a,b) for(int i=(int)a;i<=(int)b;i++)
 22 #define per(i,a,b) for(int i=(int)a;i>=(int)b;i--)
 23 #define lowbit(x) x&(-x)
 24 #define Rand (rand()*(1<<16)+rand())
 25 #define id(x) ((x)<=B?(x):m-n/(x)+1)
 26 #define ls p<<1
 27 #define rs p<<1|1
 28 
 29 const ll MOD=1e9+7,inv2=(MOD+1)/2;
 30       double eps=1e-6;
 31       int dx[4]={-1,1,0,0};
 32       int dy[4]={0,0,-1,1};
 33 
 34 int head[N],vet[N],len[N],nxt[N],dp[N],a[N],dis[N],num[N][2],s,S,T,K,n,tot;
 35 
 36 int read()
 37 {
 38    int v=0,f=1;
 39    char c=getchar();
 40    while(c<48||57<c) {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
 41    while(48<=c&&c<=57) v=(v<<3)+v+v+c-48,c=getchar();
 42    return v*f;
 43 }
 44 
 45 void add(int a,int b,int c)
 46 {
 47     nxt[++tot]=head[a];
 48     vet[tot]=b;
 49     len[tot]=c;
 50     head[a]=tot;
 51 
 52     nxt[++tot]=head[b];
 53     vet[tot]=a;
 54     len[tot]=0;
 55     head[b]=tot;
 56 }
 57 
 58 bool bfs()
 59 {
 60     queue<int>q;
 61     rep(i,1,s) dis[i]=-1;
 62     q.push(S),dis[S]=0;
 63     while(!q.empty())
 64     {
 65         int u=q.front();
 66         q.pop();
 67         int e=head[u];
 68         while(e)
 69         {
 70             int v=vet[e];
 71             if(len[e]&&dis[v]==-1)
 72             {
 73                 dis[v]=dis[u]+1;
 74                 q.push(v);
 75             }
 76             e=nxt[e];
 77         }
 78     }
 79     return dis[T]!=-1;
 80 }
 81 
 82 int dfs(int u,int aug)
 83 {
 84     if(u==T) return aug;
 85     int e=head[u],val=0,flow=0;
 86     while(e)
 87     {
 88         int v=vet[e];
 89         if(len[e]&&dis[v]==dis[u]+1)
 90         {
 91             int t=dfs(v,min(len[e],aug));
 92             if(!t)
 93             {
 94                 e=nxt[e];
 95                 continue;
 96             }
 97             flow+=t;
 98             aug-=t;
 99             len[e]-=t;
100             len[e^1]+=t;
101             if(!aug) break;
102         }
103         e=nxt[e];
104     }
105     if(!flow) dis[u]=-1;
106     return flow;
107 }
108 
109 int maxflow()
110 {
111     int res=0;
112     while(bfs()) res+=dfs(S,INF);
113     return res;
114 }
115 
116 void solve1()
117 {
118     s=0;
119     rep(i,1,n)
120      rep(j,0,1) num[i][j]=++s;
121     S=++s;
122     T=++s;
123     rep(i,1,s) head[i]=0;
124     tot=1;
125     rep(i,1,n) add(num[i][0],num[i][1],1);
126     rep(i,1,n)
127      if(dp[i]==1) add(S,num[i][0],1);
128     rep(i,1,n)
129      if(dp[i]==K) add(num[i][1],T,1);
130     rep(i,1,n)
131      rep(j,i+1,n)
132       if(a[j]>a[i]&&dp[j]==dp[i]+1) add(num[i][1],num[j][0],1);
133     int ans=maxflow();
134     printf("%d
",ans);
135 }
136 
137 void solve2()
138 {
139     rep(i,1,s) head[i]=0;
140     tot=1;
141     add(num[1][0],num[1][1],INF);
142     add(num[n][0],num[n][1],INF);
143     rep(i,2,n-1) add(num[i][0],num[i][1],1);
144     rep(i,1,n)
145      if(dp[i]==1)
146      {
147          if(i==1||i==n) add(S,num[i][0],INF);
148           else add(S,num[i][0],1);
149      }
150 
151     rep(i,1,n)
152      if(dp[i]==K)
153      {
154          if(i==1||i==n) add(num[i][1],T,INF);
155           else add(num[i][1],T,1);
156      }
157 
158     rep(i,1,n)
159      rep(j,i+1,n)
160       if(a[j]>a[i]&&dp[j]==dp[i]+1) add(num[i][1],num[j][0],1);
161     int ans=maxflow();
162     if(ans>INF) ans=n;
163     printf("%d
",ans);
164 }
165 
166 int main()
167 {
168     //freopen("1.in","r",stdin);
169     n=read();
170     rep(i,1,n) a[i]=read();
171     rep(i,1,n)
172     {
173         dp[i]=1;
174         rep(j,1,i-1)
175          if(a[j]<a[i]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
176     }
177     K=1;
178     rep(i,1,n) K=max(K,dp[i]);
179     printf("%d
",K);
180     solve1();
181     solve2();
182     return 0;
183 }