图论——最小生成树：Prim算法及优化、Kruskal算法，及时间复杂度比较

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最小生成树：

　　一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。简单来说就是有且仅有n个点n-1条边的连通图。

　　而最小生成树就是最小权重生成树的简称，即所有边的权值之和最小的生成树。

　　最小生成树问题一般有以下两种求解方式。

一、Prim算法

　　参考了Feynman的博客　

　　Prim算法通常以邻接矩阵作为储存结构。

　　算法思路：以顶点为主导地位，从起始顶点出发，通过选择当前可用的最小权值边把顶点加入到生成树当中来：

　　1.从连通网络N={V,E}中的某一顶点U₀出发，选择与它关联的具有最小权值的边（U₀,V）,将其顶点加入到生成树的顶点集合U中。

　　2.以后每一步从一个顶点在U中，而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(U,V),把它的顶点加入到集合U中。如此继续下去，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。

　　模板题链接：Prim算法求最小生成树

　　朴素版时间复杂度O(n²)算法模板：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 500+10;
int n,m;
int g[N][N],dis[N],vis[N];

void prim()
{
    memset(dis,0x1f,sizeof dis);
    dis[1]=0;
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        int min_len=2e+9,k;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(!vis[i]&&dis[i]<min_len)
            {
                min_len=dis[i];
                k=i;
            }
        }
        vis[k]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(!vis[i]&&dis[i]>g[k][i])
                dis[i]=g[k][i];
        }
    }

}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(g,0x1f,sizeof g);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        g[u][v]=g[v][u]=min(g[u][v],w);  //因为有重边，所以取min
    }
    prim();
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans+=dis[i];
    if(ans>1e7)printf("impossible
");
    else printf("%d
",ans);
    return 0;
}

　　与Dijkstra类似，Prim算法也可以用堆优化，优先队列代替堆，优化的Prim算法时间复杂度O(mlogn)模板（图的存储方式为前向星）：

void Prim_heap(int point)
{
    memset(dis,0x1f,sizeof(dis));
    priority_queue<pair<int,int> > q;
    
    dis[point]=0;
    q.push(make_pair(0,1));
    while(!q.empty())
    {
        int k=q.top().second;
        q.pop();
        v[k]=1;
        for(int i=h[k];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            int to=edge[i].to,w=edge[i].w;
            if(!v[to]&&dis[to]>w)
            {
                dis[to]=w;
                q.push(make_pair(-dis[to],to));  //优先队列大根堆变小根堆小骚操作：只需一个‘-’号； 
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)if(dis[i]==0x1f1f1f1f)flag=false;  //判断是否不存在最小生成树 
    return ;
}

二、Kruskal算法

　　相比于Prim算法，更常用的还是Kruskal，其原因在于Kruskal算法模板的代码量小而且思路易理解。

　　算法思路：先构造一个只含 n 个顶点、而边集为空的子图，把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点，之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，即把两棵树合成一棵树，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1 条边为止。

　　步骤：

新建图G，G中拥有原图中相同的节点，但没有边；
将原图中所有的边按权值从小到大排序；
从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中；
重复3，直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中。

　　简单来说就是以边为主导地位，每次选择权值最小的边，判断该边连接的两点是否连通，若不连通，则合并两点（合并操作以并查集实现）。记录合并的次数，当次数等于n-1时结束。

　　模板题链接：Kruskal算法求最小生成树

　　代码如下：时间复杂度O(mlogm)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 100000+10, M = 200000+10; 

struct Edge{
    int u,v,w;
    bool operator < (const Edge &E)const
    {
        return w<E.w;
    }
}edge[M];
int fa[N];
int n,m,cnt,ans;

int find(int x)
{
    if(fa[x]==x)return x;
    else return fa[x]=find(fa[x]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        edge[i].u=a;edge[i].v=b;edge[i].w=c;
    }
    sort(edge+1,edge+m+1);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=find(edge[i].u),v=find(edge[i].v),w=edge[i].w;
        if(u!=v)
        {
            cnt++;
            fa[u]=v;
            ans+=w;
        }
    }
    if(cnt==n-1)printf("%d
",ans);
    else printf("impossible
");
    return 0;
}

三、Prim，Prim_heap，Kruskal算法时间复杂度比较

　　参考了G机器猫的博客

结论：

　　1.Prim在稠密图中比Kruskal优，在稀疏图中比Kruskal劣。

　　2.Prim_heap在任何时候都有令人满意的的时间复杂度，但是代价是空间消耗极大。（以及代码很复杂>_<）

　　但值得说一下的是，时间复杂度并不能反映出一个算法的实际优劣。

　　竞赛题一般给的都是稀疏图，选择Prim_heap即可；如果觉得代码量太大，想要在Prim与Kruskal算法中选一个，那就选择Kruskal算法。