算法 -- 异或运算符

参考:http://longcxm.iteye.com/blog/1461543

   http://www.41443.com/HTML/Java/20150131/309079.html

   http://www.cnblogs.com/suoloveyou/archive/2012/04/25/2470292.html

在java程序里面的异或用法: 

相同输出0,不同输出1,例如: 
System.out.println(1^1); 输出0 
System.out.println(1^2);输出3,因为最后2个低位都不一样,所有输出3 

    异域的概念是相同为0不同为1.如果两个数值异或后的值相同,异或前可能不同。 
比如二进制:0010^0001=0011 而0000^0011=0011。 异或要慎用。 


    已到有意思的题目:很多成对出现数字保存在磁盘文件中,注意成对的数字不一定是相邻的,如2, 3, 4, 3, 4, 2……,由于意外有一个数字消失了,如何尽快的找到是哪个数字消失了? 

   由于有一个数字消失了,那必定有一个数只出现一次而且其它数字都出现了偶数次。用搜索来做就没必要了,利用异或运算的两个特性——1.自己与自己异或结果为0,2.异或满足 
交换律。 

public static int findLost(int a[]){ 
        int result=0; 
        for(int i=0;i<a.length;i++) { 
            result^=a[i]; 
        } 
        return result; 

那么如果:现在变成存在2个不一样的数字?

假设成x,y,那么可以O(n)求出x^y,因为x,y不同,所以异或的结果不为0,看成2进制数,那么找到第一位为1 的位置,将这个位置设置为划分点,数组里所有这个位置为1 的异或一次,所有为0的再异或一次,最终求出的两个即为两个独特的数字。

其实,我有个疑问?为什么多个不同的数字进行异或能去除重复的数字,经过搜索,原来还要根据异或运算的性质来说

异或是一种基于二进制的位运算,用符号XOR或者 ^ 表示,其运算法则是对运算符两侧数的每一个二进制位,同值取0,异值取1。它与布尔运算的区别在于,当运算符两侧均为1时,布尔运算的结果为1,异或运算的结果为0。

简单理解就是不进位加法,如1+1=0,,0+0=0,1+0=1。

性质

1、交换律

2、结合律(即(a^b)^c == a^(b^c))

3、对于任何数x,都有x^x=0,x^0=x

4、自反性 A XOR B XOR B = A xor  0 = A

异或运算最常见于多项式除法,不过它最重要的性质还是自反性:A XOR B XOR B = A,即对给定的数A,用同样的运算因子(B)作两次异或运算后仍得到A本身。这是一个神奇的性质,利用这个性质,可以获得许多有趣的应用。 例如,所有的程序教科书都会向初学者指出,要交换两个变量的值,必须要引入一个中间变量。但如果使用异或,就可以节约一个变量的存储空间: 设有A,B两个变量,存储的值分别为a,b,则以下三行表达式将互换他们的值 表达式 (值) :

 A=A XOR B (a XOR b)

 B=B XOR A (b XOR a XOR b = a) 

 A=A XOR B (a XOR b XOR a = b)

 类似地,该运算还可以应用在加密,数据传输,校验等等许多领域。

运用距离:

1-1000放在含有1001个元素的数组中,只有唯一的一个元素值重复,其它均只出现
一次。每个数组元素只能访问一次,设计一个算法,将它找出来;不用辅助存储空
间,能否设计一个算法实现?

解法一、显然已经有人提出了一个比较精彩的解法,将所有数加起来,减去1+2+...+1000的和。
这个算法已经足够完美了,相信出题者的标准答案也就是这个算法,唯一的问题是,如果数列过大,则可能会导致溢出。
解法二、异或就没有这个问题,并且性能更好。
将所有的数全部异或,得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或,得到的结果就是重复数。

但是这个算法虽然很简单,但证明起来并不是一件容易的事情。这与异或运算的几个特性有关系。
首先是异或运算满足交换律、结合律。
所以,1^2^...^n^...^n^...^1000,无论这两个n出现在什么位置,都可以转换成为1^2^...^1000^(n^n)的形式。

其次,对于任何数x,都有x^x=0,x^0=x。
所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000(即序列中除了n的所有数的异或)。

令,1^2^...^1000(序列中不包含n)的结果为T
则1^2^...^1000(序列中包含n)的结果就是T^n。
T^(T^n)=n。
所以,将所有的数全部异或,得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或,得到的结果就是重复数。

当然有人会说,1+2+...+1000的结果有高斯定律可以快速计算,但实际上1^2^...^1000的结果也是有规律的,算法比高斯定律还该简单的多。
 
google面试题的变形:一个数组存放若干整数,一个数出现奇数次,其余数均出现偶数次,找出这个出现奇数次的数?
原文地址:https://www.cnblogs.com/myfield/p/6436371.html