跳表

参考：https://blog.csdn.net/zlx_code/article/details/90581451

1、定义

跳表实际上是一种增加了前向指针的链表，是一种随机化的数据结构，实质上是可以进行二分查找的有序链表；跳表在原来的有序链表上加上了多级索引，通过索引来快速查找；可以支持快速的删除、插入和查找操作。

2、跳表的理解

对于一个单链表来讲，即使链表中存储的数据是有序的，如果我们想要在其中查找某个数据，也只能从头开到尾的遍历，查询效率低，时间复杂度是O(n)。如下图所示

如何提交查找效率，如下图所示，对链表建立一级“索引”，这样查找起来方便了很多，如，每两个节点提取一个节点到上一级的，我们把抽出的那一级叫做索引或者索引层，图中的down表示down指针指向下一级节点。

假如我们现在查找某个节点，比如23，我们先遍历索引层，，当遍历到19的时候，发现下一个节点是25，那么23肯定在19到25这两个节点之间。我们使用down指针，下降到下一级原始链表层，继续遍历，这时候我们只需要遍历2个节点就找到23了，相比于从原始链表开始遍历，要快3个节点。

从上面可以看出，加上一层索引之后，查询效率提高了很多，那么再加上一层呢？我们在第一级索引上再加上第二级索引，建立方式和之前一样，每两个节点抽象出一个节点到第二级索引。现在查找23节点，只需要遍历6个节点就能找到，遍历的次数又减少了。

现在查询效率进一步提升了，现在假如节点变得越来越多，一个有64个节点，建立5个索引层，那么查询第62个节点，在没有建立索引表之前，需要遍历62个节点，建立索引表之后，只需要遍历11个节点，速度提高了很多。所以当链表的长度n比较大的时候，比如1000000，在构建索引之后，查询效率的提升会非常的明显。（摘自极客邦）

3、跳表时间复杂度分析

在一个单链表中查询的时间复杂度是O(n)，现在分析一下有n个节点，有多少级索引？

按照每两个节点抽出一个节点作为上一级索引的节点，那么第一级索引节点大约是 n/2 个，第二级的索引大约是 n/4 个，以此类推，第 k 级索引的节点个数是第 k-1 级索引的节点个数的 1/2，那么第 k 级索引点的个数： $n/2{^{k}}$ 。

假设索引有 h 级，最高级的索引是 2 个节点，通过上面的例子可以得到：

$frac{n}{2^h}=2$

求得： $h=log_2n-1$

如果包含原始链表这一层，那么整个跳表的高度是： $log_2n$ 。

我们在跳表查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历m个节点，那在跳表查询一个数据的时间复杂度是： $O(m*logn)$ ，m的值是多少呢？

假设我们要找的数据是x，在第 k 级索引中，我们遍历到y节点之后，发现 $x > y$ ， $x < z$ ，所以通过y的down指针，从第k级索引到第 k - 1 级索引。在第 k - 1 级索引中，y 和 z 之间只有3个节点，所以我们在第 k - 1 级索引中，最多只遍历3个节点，以此类推，每一级索引最多只需要遍历3个节点。

通过上面的分析，我们得到 m 的值是 3，所以在跳表中查找任意数据的时间复杂度是 O(logn)，查找的时间复杂度和二分查找是一样的。

这种查找效率的提升，前提是建立了很多级索引。

4、跳表的空间复杂度分析

假设原始链表的长度是 N，第一级索引大约是 N/2，第二级索引大约是 N/4，以此类推，每一层减少一半，直至剩下两个点，其实就是一个等比数列，计算可以得到： $frac{N}{2} + frac{N}{4} + frac{N}{8}+.... + 2 = n - 2$ ，所以跳表的时间复杂度是 O(n)，也就是说如果将n个节点的单链表构成跳表，需要额外将近n个节点的空间，如何降低跳表的存储空间？

前面的分析是使用，每两个节点抽一个节点到上级索引，如果我们使用3个节点或者5个节点：

$frac{n}{3} + frac{n}{9} + frac{n}{27} + ... + 1 = frac{n-1}{2}$

求和得到的节点，大约是 $frac{n}{2}$ ，尽管时间复杂度还是O(n)，但是存储空间减少了一半。

注意，当原始链表中存储的是很大的对象的时候，而索引节点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引节点大很多的时候，索引节点的存储空间就可以忽略不计了。

5、高效的动态插入和删除

1、插入节点操作

跳表还支持动态的插入和删除，而且插入和删除的时间复杂度是 O(logn)。

在单链表中，一旦定位到要插入的位置，那么插入节点的时间复杂度很低 O(1)，但是查找插入位置比较消耗时间。对于单链表而言，需要遍历每个节点，来找插入的位置，而对于跳表而言，查找的时间复杂度是 O(logn)，所以查找某个数据应该插入的位置时间复杂度也是 O(logn)。

2、删除节点

如果这个节点在索引中出现，我们除了删除原始链表中的节点，还需要删除索引中的点，在单链表中删除操作是需要拿到待删除节点的前驱节点，然后再删除，如果是双向链表，则没有这个问题了。

6、跳表的动态更新

当我们不停的在跳表中增加数据的时候，如我们不更新索引，那么在极端的情况下，可能出现两个索引节点之间出现数据非常多的情况，极端情况下，退化成单链表：

因此，我们需要维护索引和原始链表之间的平衡，也就是说，如果链表中的节点太多了，那么索引节点也就相应的增加了一些，避免复杂度退化，以及查找，插入和删除的操作。

7、跳表是通过随机函数来维护平衡的

当我们在跳表中插入数据的时候，我们通过选择同时将这个数据插入到部分索引层中，如何选择索引层，可以通过一个随机函数来决定这个节点插入到哪几级索引中，比如随机生成了k，那么就将这个索引加入到，第一级到第k级索引中。

8、总结

跳表使用的是空间换时间的思想，通过构建多级索引来提高查询效率，实现基于链表的“二分查找”，跳表是一种动态的数据结构，支持快速的查找、插入和删除操作，时间复杂度是 O(logn)。

跳表的空间复杂度是 O(n)，不过跳表可以通过改变索引策略，动态的平衡执行效率和内存消耗。