连续子数组的最大和问题

参考自：求连续子数组的最大和

求子数组的最大和
题目描述：
输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。
数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。
求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，
因此输出为该子数组的和18。

思路

一、暴力求法

　　计算每一个子数组的和，然后求最大值，复杂度O(n³)。不推荐，代码就不写了。

二、 动态规划

设sum[i]为以第i个元素结尾且和最大的连续子数组。假设对于元素i，所有以它前面的元素结尾的子数组的长度都已经求得，那么以第i个元素结尾且和最大的连续子数组实际上，要么是以第i-1个元素结尾且和最大的连续子数组加上这个元素，要么是只包含第i个元素，即sum[i] = max(sum[i-1] + a[i], a[i])。可以通过判断sum[i-1] + a[i]是否大于a[i]来做选择，而这实际上等价于判断sum[i-1]是否大于0。由于每次运算只需要前一次的结果，因此并不需要像普通的动态规划那样保留之前所有的计算结果，只需要保留上一次的即可，因此算法的时间和空间复杂度都很小。

        // 动态规划基础版
    public static int findMax(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int end[] = new int[n];
        int sum[] = new int[n];
        end[0] = sum[0] = arr[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            end[i] = max(end[i - 1] + arr[i], arr[i]);
            sum[i] = max(end[i], sum[i - 1]);
        }
        return sum[n - 1];
    }

    private static int max(int i, int j) {
        return i > j ? i : j;
    }

    // 动态规划改进版
    public static int findMax2(int [] arr){
        int n = arr.length ;
        int res = arr[0] ;
        int end = arr[0] ;
        for(int i = 1 ; i < n ; i++){
            end = (end+arr[i])>arr[i]?end+arr[i]:arr[i] ;
            res = end>res?end:res ;
        }
        return res ;
    }

三、扫描法

（后加注：这里提到的扫描法存在一个问题就是如果最大字段和小于0则算法没法给出正确答案。其实这个问题用动态规划就好，这里的扫描法其实真的不是个好方法，只是因为很有名所以还是粘出来了）

当我们加上一个正数时，和会增加；当我们加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。实现：

        //一次扫描版
    public static int findMax3(int [] arr){
        int n = arr.length ;
        int sum = 0 ;
        int b = 0 ;
        for(int i = 1 ; i < n ; i++){
            if(b < 0){
                b = arr[i] ;
            }else{
                b += arr[i] ;
            }
            
            if(sum < b){
                sum = b ;
            }
        }
        
        return sum ;
    }