积分与坐标变换（极坐标）

1. 极坐标（polar coordinates）

极坐标系考察的是半径与角度的关系。

\int 10 \int 10 d x d y = ⎡ ⎣ \int π 4 0 \int 1 cos θ 0 ρ d ρ d θ ⎤ ⎦ + ⎡ ⎣ \int π 2 π 4 \int 1 sin θ 0 ρ d ρ d θ ⎤ ⎦

对 ρ 进行积分，其物理含义上是放射状，向四周辐射的，从 0 开始，也即积的是一个“扇形”区域，从一个值积到另一个值，则是一个“环形”区域。

考虑双纽线，双纽线在几何上定义为一切这样的点 P 的轨迹，点 P 与直角坐标系分别为 x=a,y=0 和 x=−a,y=0 的两个固定点 F1 和 F2 的距离 r1 和 r2 之积为常值 a2

r 21 = (x + a) 2 + y 2 r 22 = (x - a) 2 + y 2

经过简单整理运算可得，如下形式的双纽线方程：

(x 2 + y 2) 2 - 2 a 2 (x 2 - y 2) = 0

经过极坐标变换 x=rcos,y=rsin，可化简为如下形式：

r 2 = 2 a 2 cos 2 θ

双纽线方程在极坐标系下会比在直角坐标系下简单得多，