从队列、二叉树到优先队列

优先队列（priority queue），也是一种重要的缓存结构。从原理上说，这种线性结构与二叉树没有直接关系。但是基于对一类二叉树的认识，可以做出优先队列的一种高效实现。

注意，队列和优先队列的选择，要视具体的应用场景而定，两者也有可能共存于一个系统之中，比如海关（Customs）检查站模拟系统：
到达车辆可能排队 ⇒ 队列
事件（不同的事件） ⇒ 优先队列
无论是队列、栈还是优先队列，都是从指定的方向进行进入集合和弹出集合的（也即规则是十分明确的），
- 队列：尾部入，头部出；
- 栈：头部入，头部出；
- 优先队列：根元素弹出，新来的元素被调整在合适的位置；

1. 基本概念

作为缓存结构，优先队列与栈和队列类似：

可以将数据元素保存其中；
可以访问和弹出；

优先队列的特点是存入其中的每项数据都另外附有一个数值，表示这个项的优先程度，称为其优先级。

抽象地看，需要缓存的是一个有序集 S=(D,≤) 的元素，这里的 “≤” 是集合 D 上的一个全序（非严格的），表示元素的优先关系。允许 D 中不同元素具有相同的优先级，也就是说，

a, b \in D, a \leq b, b \leq a

这时，就说 a 和 b 优先级相同。在这种应用情景下：

如果要求保证优先级相同的元素先进先出（希望优先队列同时具有队列的 FIFO 性质），那就只能做出效率较低的实现；
如果只要求保证访问（或弹出）的总是当时存在的最优元素中的一个，不要求一定是其中最早进入优先队列的元素，那么就存在效率更高的实现；

2. 基于连续表/链表的实现

class PriQue:
    def __init__(self, elist=[]):
        self._elems = list(elist)
        self._elems.sort(reverse=True)
    def enqueue(self, e):
        n = len(self._elems) - 1
        while n >=0:
            if e >= self._elems[n]:
                n -= 1
            else: break
        self._elems.insert(n+1, e)
    def dequeue(self):
        if not self._elems:
            raise ...
        self._elems.pop()

总而言之，采用线性表技术实现优先队列，无论采用怎样具体实现技术：

连续表
链表

在插入元素和取出元素的操作中，总有一种是具有线性复杂度（O(n)）的操作，这一情况不能令人满意。

3. 树形结构和堆的性质

前文书说过，只要元素根据优先级顺序线性排列，就无法避免线性复杂性问题。这意味着，如果不改变数据的线性顺序存储方式，就无法突破 O(n) 的时间复杂度。要做出操作效率更高的优先队列，必须考虑其他数据结构组织方式。

采用树形结构实现优先队列的一种有效技术成为堆。从结构上看，堆就是结点里存储数据的完全二叉树，但堆中数据的存储要满足一种特殊的堆序：

大顶堆
小顶堆

保证堆中最优先的元素必定位于二叉树的根节点（堆顶），O(1) 时间便可得到。

在树的性质中，我们知道：一棵完全二叉树可以自然而且信息完全地存入一个连续的线性结构（例如连续表），堆是完全二叉树，因此堆也可以自然地存入一个连续表，以便通过下标即可访问任一节点的父节点、子节点。

4. 堆和完全二叉树的性质

Q1：在一个堆的最后加上一个元素（在相应连续表的最后增加一个元素），整个结构还是可以看做一棵完全二叉树，但它未必是堆（最后的元素未必满足堆序）；
Q2：一个堆去掉堆顶（对应线性表位置 0 的元素），其余元素形成两个“子堆”；
Q3：给由 Q2 得到的表（两个子堆）加入一个根元素（存入位置 0），得到的结点序列又可看做完全二叉树，但未必满足堆序；
Q4：去掉一个堆中的最后一个元素（最下层的最右节点，也是线性表的最后一个元素），剩下的元素仍构成一个堆；

5. 优先队列的堆实现

解决插入和删除的关键操作称为筛选：

插入元素 ⇒ 向上筛选

不断用新加入的元素 e，与其父节点的数据比较，如果 e 较小，就交换两个元素的位置。通过这样的比较和交换，元素 e 不断上移。这一操作一直做到 e 的父节点的数据 ≤ e，或者 e 到达根节点时停止。
弹出元素 ⇒ 向下筛选

由于堆顶元素就是最优先元素，应该弹出的元素就是它。但弹出堆顶元素后，剩下的元素已经不再是堆：
- 根据性质 Q2，剩余元素可看做两个子堆；
- 又根据 Q3，只需填补一个堆顶元素就可以将它们做成一个完全二叉树，
- 再根据 Q4，从原堆的最后取出一个元素，其余元素仍然是堆，把这个元素放在堆顶就得到一棵完全二叉树。
在这种情况下，恢复堆的操作称为向下筛序：设两个子堆 A 和 B 加上根元素 e 构成一棵完全二叉树，现在需要把他们做成一个堆：
- 用 e 与 A、B 两个子堆的堆顶元素（子树的根），最小者为整个堆的顶；
  - 若 e 不是最小，最小的必为 A 或 B 的根，设 A 的根最小，将其移到堆顶，相当于删除了 A 的顶元素；
  - 下面考虑把 e 放入去掉堆顶的 A，这是规模更小同一问题；
- 如果某次比较 e 最小，以它为顶的局部树，已经成为堆，整个结构也为堆；
- 或者 e 已经落到底，整个结构成为堆；