不等式证明

1. a2+b2+c2≥ab+bc+ac

a 2 + b 2 + c 2 \geq a b + b c + a c ⇓ 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 \geq 2 a b + 2 a c + 2 b c ⇓ (a 2 + b 2) + (a 2 + c 2) + (b 2 + c 2) \geq 2 a b + 2 a c + 2 b c

当然也可用著名的排序不等式、证明及其应用来证明，两序列均为 a≤b≤c，则由排序不等式可得，∑i=13aibi≥∑i=13aibji

注意条件是 p>−1，证明方法，使用数学归纳法，已知 (1+p)r≥1+rp 成立，则：

(1 + p) r + 1 \geq (1 + r p) (1 + p) = 1 + (r + 1) p + r p 2

a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c \leq 4 (a b + b c + a c) a 2 + b 2 + c 2 \leq 2 a b + 2 a c + 2 b c 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 \leq 2 a b + 2 a c + 2 b c + a 2 + b 2 + c 2 (a - b) 2 + (b - c) 2 + (a - c) 2 \leq a 2 + b 2 + + c 2