方阵和的行列式、方阵行列式的和

考虑同阶方阵 A,B，问它们和的行列式与它们各自行列式的和是否相等：

| A + B | = ? | A | + | B |

结论是二者是不相等的。

行列式的性质，我们知道，若行列式某 i 列（行）的元素都是（都可转化为）两数之和，则等于两个行列式之和。

D = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 \dots a n 1 a 12 a 22 \dots a n 2 \dots \dots \dots \dots (b 1 i + c 1 i) (b 2 i + c 2 i) \dots (b n i + c n i) \dots \dots \dots \dots a 1 n a 2 n \dots a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

则可将 D 转化为两个小行列式的和：

D = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 \dots a n 1 a 12 a 22 \dots a n 2 \dots \dots \dots \dots b 1 i b 2 i \dots b n i \dots \dots \dots \dots a 1 n a 2 n \dots a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 \dots a n 1 a 12 a 22 \dots a n 2 \dots \dots \dots \dots c 1 i c 2 i \dots c n i \dots \dots \dots \dots a 1 n a 2 n \dots a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

也即对于两个三阶的方阵的和的行列式，最终可以分解为 8（23）个小行列是的和。

以下为 matlab 演示代码：

A = randi(10, 3, 3);
B = randi(10, 3, 3);

C = A+B; D1 = det(C);

D2 = 0;

I = [0, 0, 0; 0, 0, 1; 0, 1, 0; 0, 1, 1; 1, 0, 0; 1, 0, 1; 1, 1, 0; 1, 1, 1]';
I2 = ones(3, 8) - I;

for i=1:8,
    j = I(:, i);
    D2 = D2 + det([A(:, 1)*j(1)+B(:, 1)*j(1), A(:, 2)*j(2)+B(:, 2)*j(2), A(:, 3)*j(3)+B(:, 3)*j(3)]);
end

最终计算得 D1（两个方阵和的行列式）等于 8 个小行列式的和。