从二叉堆到左式堆

设计一种类似二叉堆的堆结构，能高效地支持合并操作（即以 O(N)（最坏） 的时间处理一次 Merge），而仅使用一个数组（经典二叉堆的实现）似乎很难。 原因在于，合并似乎需要把一个数组拷贝到另一个数组中去，对于相同大小的堆这将花费 Θ(N)。正因如此，所有支持高效合并的高级数据结构都需要使用指针。

1. 左式堆的性质

左式堆不是理想平衡的（perfectly balanced），而实际上是趋于非常不平衡。

定义：Npl(X)：Null path length，为从节点 X 到任一个没有两个儿子（左孩子 && 右孩子）的结点的最短路径的长度。因此，会有以下基本性质：

• 具有 0 个或 1 个儿子的结点的 Npl 为 0
• Npl(NULL) = -1

左式堆性质是：对于堆中的每一个结点 X，左儿子的 0 路径长度至少与右儿子的 0 路径长度一样大。最终会使得树向左侧增加深度，

还有一点需要注意的是，任一结点的零路径长度比它的诸儿子结点的零路径长度的最小值多1。这个结论也适用于少于两个儿子的结点，比如某树只有根节点和其左孩子（或者右孩子），此时根节点和左孩子的 Npl 均为 0，但据前面的定义可知，此时的右孩子（左孩子）因为为 NULL，所以为 -1，上述结论依然成立。

2. C 实现

// leftheap.h
typedef int ElementType;
struct TreeNode;
typedef struct TreeNode* PriorityQueue;

// 仅实现两个左式堆的 Merge
PriorityQueue Merge (PriorityQueue H1, PriorityQueue H2);

// leftheap.c
struct TreeNode {
    ElementType Element;
    PriorityQueue Left;
    PriorityQueue Right;
    int Npl;
};

• Merge 函数的实现：

  static PriorityQueue Merge1 (PriorityQueue H1, PriorityQueue H2) {
          if (!H1->Left)
              H1->Left = H2;
          else {
              H1->Right = Merge(H1->Right, H2);
              if (H1->Left->Npl < H1->Right->Npl)
                  SwapChild(H1);         // H1 的左右孩子指针交换
              H1->Npl = H1->Right->Npl + 1;
          }
          return H1;
  }
  
  PriorityQueue Merge (PriorityQueue H1, PriorityQueue H2) {
      if (!H1) return H2;
      if (!H2) return H1;
      if (H1->Element < H2->Element) {
          return Merge1(H1, H2);
      }
  }

单节点的插入可以转换为特殊的 Merge；