希尔伯特矩阵（Hilbert matrix）

1. 定义

由 Hilbert 1894 年引入的一个方阵，矩阵在各个位置上的值为：

Hij=1i+j−1

显然 Hij=Hji，这是一个对称矩阵，由单位分数（unit fraction，分子是 1，分母是正整数）。

例如对于一个 5 阶希尔伯特矩阵而言，

H=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1121314151213141516131415161714151617181516171819⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

2. 创建（matlab）

N = 5;
M = ones(N, 1)*(1:N);
N = M';
H = 1 ./ (M+N-1);

3. 性质

希尔伯特矩阵中的每一个元素可视为如下函数的积分：

Hij=∫10xi+j−2dx