negative binomial（Pascal） distribution —— 负二项式分布（帕斯卡分布）

1. 定义

假设一串独立的伯努利实验（0-1，成功失败，伯努利实验），每次实验（trial）成功和失败的概率分别是 p 和 1−p。实验将会一直重复下去，直到实验失败了 r 次。定义全部实验中成功的次数为随机变量 X，则：

X \sim NB (r; p)

f (k; r, p) \equiv Pr (X = k) = (r + k - 1 k) p k (1 - p) r

之所以称其为 negative binomial distribution（负二项式分布），在于：

(r + k - 1 k) = ( r + k - 1 ) ! k ! ( r - 1 ) ! = = = ( r + k - 1 ) ( r + k - 2 ) \dots ( r ) k ! (- 1) k ( - r ) ( - r - 1 ) \dots ( - r - k + 1 ) k ! (- 1) k (- r k)

此时不妨对其能否构成概率分布进行简单验证：

\sum k Pr (X = k) = = = = (1 - p) r \sum k (- 1) k (- r k) p k (1 - p) r \sum k (- r k) (- p) k (1 - p) r \cdot (1 - p) - r 1

想要负二项分布中出现 λ，不妨令 p=λλ+r，当 r→∞：

f X (x) = = = = ( k + r - 1 ) ( k + r - 2 ) \dots ( r ) k ! p k (1 - p) r ( k + r - 1 ) ( k + r - 2 ) \dots ( r ) k ! λ k ( λ + r ) k (r λ + r) r λ k k ! (1 ( 1 + λ r ) r) λ k k ! e - λ