随机变量统计独立性的相关证明

1. 和的期望和方差

两随机变量 x,z 统计独立，证明下列两个等式：

{E [x + z] = E [x] + E [z] var [x + z] = var [x] + var [z]

不失一般性地设二者均是连续型随机变量，则根据随机变量的期望和方差的计算公式有：

E [x + z] = \int (x + z) p (x, z) d x d z = \int (x + z) p (x) p (z) d x d z = \int x p (x) d x + \int z p (z) d z = E [x] + E [z]

进一步可计算二者和的方差：

var [x + z] = = = \int ((x + z) - E [x + z]) 2 p (x, z) d x d z \int (x - E [x]) 2 p (x) d x + \int (z - E [z]) 2 p (z) d z var [x] + var [z]