【证明】【一题多解】布尔不等式（union bound）的证明

布尔不等式（Boole’s inequality）也叫（union bound），即并集的上界，描述的是至少一个事件发生的概率（ $P (⋃_{i} A_{i})$ ）不大于单独事件（事件之间未必独立）发生的概率之和（ $\sum_{i} P (A_{i})$ ）。

即：

P (⋃_{i} A_{i}) \leq \sum_{i} P (A_{i})

展开即为：

P (A_{1} ⋃ A_{2} ⋃ \dots) \leq P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots

1. 数学归纳法证明

当 $n = 1$ 时，显然 $P (A_{1}) \leq P (A_{1})$
对于 $n$ ，如果有： $P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) \leq \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i})$ ，则由 $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ 可知：

$\begin{aligned} P (⋃_{i = 1}^{n + 1} A_{i}) = P ({⋃_{i = 1}^{n} A_{i}} ⋃ A_{n + 1}) & = P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) + P (A_{n + 1}) - P ({⋃_{i = 1}^{n} A_{i}} ⋂ A_{n + 1}) \\ \leq P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) + P (A_{n + 1}) \end{aligned}$

2. 将事件转换为独立事件（不相交事件）

假设有 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 三个事件，则：

令 $B_{1} = A_{1}, B_{2} = A_{2} - A_{1}$ ， $B_{1}$ 与 $B_{2}$ 不相交
令 $B_{2} = A_{2} - A_{1}$ $B_{3} = A_{3} - A_{2} - A_{1}$ ， $B_{2}$ 与 $B_{3}$ 不相交

令 $B_{i} = A_{i} ∖ (⋃_{k = 1}^{i - 1} A_{i})$ ，则有 $B_{1}, B_{2}, \dots,$ 互不相交，且 $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots = B_{1} \cup B_{2} \cup \dots$ ，自然 $B_{i} \subset A_{i}$ ==> $P (B_{i}) \leq P (A_{i})$ ：

\begin{aligned} P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots) & = P (B_{1} \cup B_{2} \cup \dots) = P (B_{1}) + P (B_{2}) + \dots \\ \leq P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots \end{aligned}