最小生成树：Kruskal算法 和 Prim算法（第23章）

武侠： 飞雪连天射白鹿，笑书神侠倚碧鸳。 ——金庸十四著作
飞狐外传 、雪山飞狐 、连城诀 、天龙八部 、射雕英雄传 、白马啸西风 、鹿鼎记 、笑傲江湖 、书剑恩仇录 、神雕侠侣 、侠客岛 、倚天屠龙记 、碧血剑 、鸳鸯刀 （除此之外还缺少越女剑）。

声明:本文参考了华山大师兄博客最小生成树-Prim算法和Kruskal算法。结合自己学习《算法导论》的认识形成的笔记。感谢网友的总结分享。

1. 最小生成树的生成

　　一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树。Kruskal算法 和 Prim算法都是使用贪心策略来解决最小生成树的问题。

//无相连通图G(V,E)和权重函数w:E->R.
Generic-MST(G,w){
    A=Φ;//Φ表示空集
    while(A does not from a spinning tree){
        find a edge(u,v) that is safe for A;
        A=A∪{(u,v)}
    }
    return A;
}

2. 克鲁斯卡尔算法

算法思想：遍历根据权重从小到大排序的边，依据约束，合并森林成为目标树。（自己理解的大白话）
1).记Graph中有v个顶点，e个边。
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的v个顶点，但没有边。
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中

3. 普里姆算法

算法思想：从一点出发，先添加连通的最近的结点，一直到所有的几点都包含在目标树中。（自己理解的大白话）
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
　　a.在集合E中选取权值最小的边

4. 算法Java实现**

4.1 图的存储和表示

package lbz.ch23.mst;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;

/** 
 * @author LbZhang
 * @version 创建时间：2016年3月16日 下午9:11:24 
 * @description 图
 */
public class Graph {    


    public final static int NODECOUNT = 9;
    public final static String[] VERTEXS={"a","b","c","d","e","f","g","h","i"};
    private final int[][] EDGEVALUE = { 
            { 0, 4, 0, 0, 0, 0 , 0 ,8, 0},
            { 4, 0, 8, 0, 0, 0 , 0 ,11, 0},
            { 0, 8, 0, 7, 0, 4 , 0 ,0, 2},
            { 0, 0, 7, 0, 9, 14, 0 ,0, 0},
            { 0, 0, 0, 9, 0, 10, 0 ,0, 0},
            { 0, 0, 4, 14, 10, 0, 2 ,0, 0},
            { 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0 ,1, 6},
            { 8, 11, 0, 0, 0, 0, 1 ,0, 7},
            { 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6 ,7, 0}

            };


    public int count;
    public String[] vertexstr;
    public int[][] edgesValue;





    public Graph() {
        this.count=NODECOUNT;
        this.edgesValue=EDGEVALUE;
        this.vertexstr=VERTEXS;
    }
    /**
     * 获取当前图中的所有的边集合
     * @return
     */
    public List<FromTo> getSortedEdgeFromTo(){
        List<FromTo> fts = new ArrayList<FromTo>();     
        for(int i=0;i<NODECOUNT;i++){
            for(int j=0;j<=i;j++){
                if(this.edgesValue[i][j]!=0){
                    FromTo ft = new FromTo();
                    ft.setFrom(new TreeNode(this.vertexstr[i]));
                    ft.setTo(new TreeNode(this.vertexstr[j]));
                    ft.setWeight(this.edgesValue[i][j]);
                    fts.add(ft);
                }
            }
        }
        ComparatorFromTo cft = new ComparatorFromTo();
        Collections.sort(fts, cft);
//      for(int i=0;i<fts.size();i++){
//          System.out.print(fts.get(i).weight+"  ");
//      }
//      System.out.println();
        return fts;
    }



    public int getCount() {
        return count;
    }



    public void setCount(int count) {
        this.count = count;
    }



    public String[] getVertexstr() {
        return vertexstr;
    }



    public void setVertexstr(String[] vertexstr) {
        this.vertexstr = vertexstr;
    }



    public int[][] getEdgesValue() {
        return edgesValue;
    }



    public void setEdgesValue(int[][] edgesValue) {
        this.edgesValue = edgesValue;
    }



    /**
     * 图的链接矩阵表示的输出打印
     */
    public void printMGraph() {
        System.out.print("  ");//这里的间隙使用的是tab 制表键
        for(int i=0;i<this.count;i++){
            System.out.print(this.vertexstr[i] + "  ");
        }
        System.out.println();
        for (int i = 0; i < this.edgesValue[0].length; i++) {
            System.out.print(this.vertexstr[i] + "  ");
            for (int j = 0; j < this.edgesValue[0].length; j++) {
                System.out.print(this.edgesValue[i][j] + "  ");
            }
            System.out.println();
        }

        System.out.println("------------图的链接矩阵表示的输出打印结束------------");
    }

    /**
     * 类内测试函数
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) {        
        Graph g = new Graph();
        g.printMGraph();
    }


}

4.2 树的存储和表示

package lbz.ch23.mst;

import java.util.Comparator;

import sun.misc.Compare;

/** 
 * @author LbZhang
 * @version 创建时间：2016年3月17日 上午5:41:52 
 * @description 边类
 */
public class FromTo{

    public int weight;
    public TreeNode from;
    public TreeNode to;


    @Override
    public String toString() {

        return this.from.getVetex()+"->"+this.getTo().getVetex()+":"+this.weight+"";
    }


    public FromTo() {
        super();
    }


    public FromTo(int weight, TreeNode from, TreeNode to) {
        super();
        this.weight = weight;
        this.from = from;
        this.to = to;
    }


    public int getWeight() {
        return weight;
    }


    public void setWeight(int weight) {
        this.weight = weight;
    }


    public TreeNode getFrom() {
        return from;
    }


    public void setFrom(TreeNode from) {
        this.from = from;
    }


    public TreeNode getTo() {
        return to;
    }


    public void setTo(TreeNode to) {
        this.to = to;
    }
}

package lbz.ch23.mst;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.Comparator;
import java.util.List;

/** 
 * @author LbZhang
 * @version 创建时间：2016年3月17日 下午3:48:34 
 * @description 比较类
 */
public class ComparatorFromTo implements Comparator{

    @Override
    public int compare(Object o1, Object o2) {
        FromTo ft1 = (FromTo)o1;
        FromTo ft2 = (FromTo)o2;
        int flag = 0;
        if(ft1.getWeight()>=ft2.getWeight()){
            flag=1;
        }else{
            flag=-1;
        }

        return flag;
    }

    @SuppressWarnings("unchecked")
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("Test !@");
        List<FromTo> fts = new ArrayList<FromTo>();

        fts.add(new FromTo(3,new TreeNode("A"),new TreeNode("B")));
        fts.add(new FromTo(1,new TreeNode("A"),new TreeNode("B")));
        fts.add(new FromTo(5,new TreeNode("A"),new TreeNode("B")));
        fts.add(new FromTo(2,new TreeNode("A"),new TreeNode("B")));
        ComparatorFromTo cft = new ComparatorFromTo();
        Collections.sort(fts, cft);
        for(int i=0;i<fts.size();i++){
            System.out.println(fts.get(i).weight);
        }

    }

}

package lbz.ch23.mst;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

/**
 * @author LbZhang
 * @version 创建时间：2016年3月17日 上午5:14:25
 * @description 树结点类
 */
public class TreeNode {
    public String vetex;
    public List<FromTo> from = new ArrayList<FromTo>();
    public List<FromTo> to = new ArrayList<FromTo>();

    public TreeNode(String vetex) {
        super();
        this.vetex = vetex;
    }

    public TreeNode(String vetex, List<FromTo> from, List<FromTo> to) {
        super();
        this.vetex = vetex;
        this.from = from;
        this.to = to;
    }

    public TreeNode() {
        super();
    }

    public String getVetex() {
        return vetex;
    }

    public void setVetex(String vetex) {
        this.vetex = vetex;
    }

    public List<FromTo> getFrom() {
        return from;
    }

    public void setFrom(List<FromTo> from) {
        this.from = from;
    }

    public List<FromTo> getTo() {
        return to;
    }

    public void setTo(List<FromTo> to) {
        this.to = to;
    }

}

package lbz.ch23.mst;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

/** 
 * @author LbZhang
 * @version 创建时间：2016年3月17日 下午2:56:36 
 * @description 最小生成树结构类
 */
public class MSTree {

    public TreeNode root;//树的根节点
    public List<TreeNode> tns = new ArrayList<TreeNode>();
    public List<FromTo> fts=new ArrayList<FromTo>();
    public MSTree() {
        super();
    }

    public MSTree(TreeNode root) {
        super();
        this.root = root;
        this.tns.add(root);
    }

    public MSTree(TreeNode r, List<TreeNode> tns, List<FromTo> fts) {
        super();
        this.root=r;
        this.tns = tns;
        this.fts = fts;
    }
    public TreeNode getRoot() {
        return root;
    }
    public void setRoot(TreeNode root) {
        this.root = root;
    }
    public List<TreeNode> getTns() {
        return tns;
    }
    public void setTns(List<TreeNode> tns) {
        this.tns = tns;
    }
    public List<FromTo> getFts() {
        return fts;
    }
    public void setFts(List<FromTo> fts) {
        this.fts = fts;
    }

    /**
     * 判断两个顶点是否在当前的最小生成树中
     * @param from
     * @param to
     * @return
     */
    public boolean containsTwoNodes(TreeNode from, TreeNode to) {
        boolean flag = false;
        int count = 0;
//      System.out.println(tns.size());
//      for(int i=0;i<tns.size();i++){
//          System.out.print(":"+tns.get(i).getVetex());
//      }
//      System.out.println();
        for(int i=0;i<tns.size();i++){
            //判定如果在一个最小生成树中有当前的需要比对的节点count+1
            if((tns.get(i).getVetex().equals(from.getVetex()))||(tns.get(i).getVetex().equals(to.getVetex()))){
                count++;
            }


            if(count>=2){
                flag=true;
                break;
            }
        }
        return flag;
    }

    /**
     * 当前树中包含当前结点
     * @param from
     * @return
     */
    public boolean containsNode(TreeNode tn) {
        boolean flag = false;
        for(int i=0;i<tns.size();i++){
            if((tns.get(i).getVetex().equals(tn.getVetex()))){
                flag=true;
                break;
            }
        }
        return flag;
    }



}

4.3 克鲁斯卡尔（Krusckal）算法的实现

package lbz.ch23.mst;

import java.util.ArrayList;
import java.util.HashSet;
import java.util.Iterator;
import java.util.List;
import java.util.Set;

/** 
 * @author LbZhang
 * @version 创建时间：2016年3月16日 下午9:09:05 
 * @description   MST Kruskal算法实现类
 * 无向连通图——最小生成树算法的设计实现和测试
 * 
 * MinimumSpanningTree
 */
public class KruskalMST {

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("My Kruskal MST TEST! ");
        Graph g = new Graph();
        g.printMGraph();
        System.out.println("----无向连通图构建完毕----");
        //克鲁斯卡尔算法的最小生成树
        Set<FromTo> frset = MstKruskal(g);
        Iterator<FromTo> it = frset.iterator();
        System.out.println("----最小生成树的结果---");
        while(it.hasNext()){
            FromTo ft = it.next();
            System.out.println(ft.getFrom().getVetex()+"->"+ft.getTo().getVetex()+": "+ ft.getWeight());
        }

    }

    /**
     * Kruskal 算法的核心内容的实现
     * @param g
     * @return
     */
    private static Set<FromTo> MstKruskal(Graph g) {

        Set<FromTo> FRSet = new HashSet<FromTo>();
        //最小生成树列表
        MSTree mst = new MSTree();
        int n=g.count;//结点的个数

        List<MSTree> mstList = new ArrayList<MSTree>();
        //初始化各个最小生成树
        for(int i=0;i<n;i++){
            MSTree mt = new MSTree(new TreeNode(g.getVertexstr()[i]));
            mstList.add(mt);
        }
        //根据权重排序        
        List<FromTo> fts = g.getSortedEdgeFromTo();
        for(int i=0;i<fts.size();i++){
            System.out.println(fts.get(i).weight+"  "+fts.get(i).getFrom().getVetex()+"->"+fts.get(i).getTo().getVetex());
        }

        System.out.println("----根据权重排序   一共有:"+fts.size()+"条边----");

        for(int i=0;i<fts.size();i++){
            FromTo ft = fts.get(i);
            if(ft.getWeight()==8){
                System.out.println();
            }
            if(!findInSameTree(ft.from,ft.to,mstList)){
                FRSet.add(ft);
                unionRelatedTree(ft.from,ft.to,ft,mstList);             
            }
        }
        return FRSet;

    }

    /**
     * 将通过边连接起来的两个最小生成树合并
     * @param from
     * @param to
     * @param ft 
     * @param mstList
     */
    private static void unionRelatedTree(TreeNode from, TreeNode to,
            FromTo ft, List<MSTree> mstList) {
        MSTree mst1 = new MSTree(),mst2=new MSTree();
        int memo = 0;
        for(int i=0;i<mstList.size();i++){
            MSTree mst = mstList.get(i);
            if(mst.containsNode(from)){
                mst1=mst;
            }else if(mst.containsNode(to)){
                mst2=mst;
                memo=i;
            }
        }
        //将两个链表合并为一个
        mst1.getFts().addAll(mst2.getFts());
        mst1.getTns().addAll(mst2.getTns());
        mstList.remove(memo);
    }

    /**
     * 判断当前的边的两个端点是否位于同一最小生成树中
     * @param from
     * @param to
     * @param mstList 
     * @return
     */
    private static boolean findInSameTree(TreeNode from, TreeNode to, List<MSTree> mstList) {
        boolean flag = false;
        for(int i=0;i<mstList.size();i++){
            MSTree mst = mstList.get(i);
            if(mst.containsTwoNodes(from,to)){
                flag=true;
                break;
            }

        }
        return flag;
    }

}

4.4 普利姆（Prim）算法的实现

package lbz.ch23.mst;

import java.util.Iterator;
import java.util.List;
import java.util.Set;

/** 
 * @author LbZhang
 * @version 创建时间：2016年3月17日 下午8:21:45 
 * @description MST Prim算法实现类
 * 无向连通图——最小生成树算法的设计实现和测试
 */
public class PrimMST {

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("My Prim MST TEST! ");
        Graph g = new Graph();
        g.printMGraph();
        System.out.println("----无向连通图构建完毕----");
        MSTree mst = new MSTree();
        TreeNode root = new TreeNode("a");
        mst=MstPrim(g,root);

        System.out.println("输出Prim构造的最小生成树的结果演示");
        for(int i=0;i<mst.getFts().size();i++){
            System.out.println(mst.getFts().get(i));
        }
        System.out.println();
    }

    private static MSTree MstPrim(Graph g, TreeNode root) {
        MSTree mst = new MSTree(root);

        //获取当前图中的边从小到大的集合
        List<FromTo> fts = g.getSortedEdgeFromTo();

        while(mst.getTns().size()<=g.getCount()){
            FromTo ft = extractMin(fts,mst);//
            if(ft==null){//最后一个会传出null的值
                break;
            }
            mst.getTns().add(ft.to);
            mst.getFts().add(ft);

        }
        return mst;
    }

    private static FromTo extractMin(List<FromTo> fts, MSTree mst) {
        FromTo  ft=null;
        TreeNode tnv = null;
        for(int i=0;i<fts.size();i++){
            ft = fts.get(i);
            if(mst.containsNode(ft.from)&&!mst.containsNode(ft.to)){
                tnv=ft.to;
                ft.to=ft.from;
                ft.from=tnv;                
                fts.remove(i);
                break;

            }else if(!mst.containsNode(ft.from)&&mst.containsNode(ft.to)){
                tnv=ft.from;
                ft.from=ft.to;
                ft.to=tnv;
                fts.remove(i);
                break;

            }else{
                ft=null;
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踏实 踏踏实实~
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