前缀和

前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。

最简单的一道题就是给定 n 个数和 m 次询问，每次询问一段区间的和。求一个 O(n + m) 的做法。

 

用 O(n) 前缀和预处理，O(m) 询问。

主要代码

for(int i = 1; i <= n; ++i) sum[i] = sum[i - 1] + a[i];　　//O(n)
while(m--)　　　　　　　　//O(m)
{
    int L, R; scanf("%d%d", &L, &R);
    printf("%d
", sum[R] - sum[L - 1]);
}

升级版

给定一个n*n的矩阵，找一个最大的子矩阵，使得这个子矩阵里面的元素和最大。

这道题最朴素的算法是 O(n ^ 6),用二维前缀和可以降到 O(n ^ 4)。

再想想前缀和矩阵怎么生成？看个图就明白了：

那么最大的矩形前缀和就等于蓝的矩阵加上绿的矩阵，再减去重叠面积，最后加上小方块，即

sum[i][j] = sum[i][j - 1] + sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j]

主要代码

for(int i = 1; i <= n; ++i)
    for(int j = 1; j <= n; ++j)
        sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];
for(int i = 1; i <= n; ++i)        //枚举矩阵左右端点 
    for(int j= 1; j <= n; ++j)
        for(int k = i; K <= n; ++k)
            for(int h = j; h <= n; ++h)
            {
                tot = sum[k][h] - sum[i - 1][h] - sum[k][j - 1] + sum[i - 1][j - 1];　　//同理矩阵生成
                ans = max(ans, tot);
            }

不过这道题还有另一种方法，可达到 O(n ^ 3)，不过思路就和二维前缀和有些差别了。

为了更好理解，先降维做道题。

给定一个数字序列，求最大区间和。

 其实这道题使用贪心的思想。因为 sum[L, R] = sum[R] - sum[L - 1]，所以只要在枚举 R 的同时，一直取最小的 sum[L - 1]，然后尝试着更新 ans。

这个代码实现有很多种方法，以下给出两种，都很好理解

第一种

for(int R = 1; R <= n; ++R)  //已知s[R]，找最小的s[L-1]
{
  MIN = min(MIN, s[R - 1]);    //就是求 sum[L] 
  ans = max(ans, s[R] - MIN);
}

第二种

for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
  sum += a[i];
  if (sum < 0) sum = 0;    //若小于0，就重新计数 
  ans = max(ans, sum);
}

掌握了这两种方法，就可以解矩阵这道题了

只要枚举矩阵的上下边。

这里面的矩阵就可以延 i 到 j 的方向将维，再用上述思想更新答案

矩阵2减去矩阵1就得到矩阵3，然后将矩阵3降维。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 4e2 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, ans = -INF;
int a[maxn][maxn], f[maxn][maxn];     //f[i][j]关于第j列到第i行的列前缀和 
void init(const int& n)
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
         for(int j = 1; j <= n; ++j)
             f[i][j] = f[i - 1][j] + a[i][j];    //求一列的和 
}
int b[maxn], sum[maxn]; //降维后的数组 
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    init(n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = i; j <= n; ++j)
        {
            for(int k = 1; k <= n; ++k) b[k] = f[j][k] - f[i - 1][k];    //降维    
            for(int k = 1; k <= n; ++k) sum[k] = sum[k - 1] + b[k];        //求一维前缀和 
            int Min = INF; 
            for(int k = 1; k <= n; ++k)
            {
                Min = min(Min, sum[k - 1]);
                ans = max(ans, sum[k] - Min);
            }
        }
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}

总而言之，前缀和虽然大多数用来预处理，但要是出关于它的题也能出的很难。