杜教筛详解+入门题

首先看看大佬的博客

下面是推理过程，然而我们只需要记结论（h，g，f 都是假定的函数，S是f的前缀和函数）：

例题1：N=1e10 ，求下式

思路：S(i)是f的前缀和，我们想找到一个g使得h的前缀和好求（h=f*g）。

先将h的式子写出来：

再把f套成u，我们会发现，前面那一部分是可以套莫比乌斯的性质的：

那么把g带成1函数，f*g就等于元函数，而元函数的前缀和不就是1吗？

然后我们就可以快乐地将化简后的h带入S(n)（也是要求的M(n)）那个式子中：

最后复杂度是N的2/3次方（我也不知道为啥）

明显对于后半部分可以用整除分块来求，注意代码实现:（sum是f函数的前缀和）

int dfs(ll x)
{
    if(x<=N-5) return sum[x];
    if(mp[x]) return mp[x];//用map来记录是否已经计算过 
    ll ans=1;
    for(ll l=2,r;l>=0&&l<=x;l=r+1){//循环从2开始 
        r=x/(x/l);//*(r-l+1)是因为这个数重复了这么多次 
        ll xx=*(r-l+1)*dfs(x/l);
        ans=(ans-xx+mod)%mod;//注意要防止ans加成负数！！ +mod %mod 
    }
    return mp[x]=ans;
}

例题2：N=1e10，求：

和上面一样，我们先写出h(n)：，再把f当做：代入。

然后我们惊奇地发现，前面一部分不是可以用欧拉函数的性质替换吗？

现在只剩下了 d*g( n/d )，那g取什么呢？明显取id函数又可以快乐地把d抵消掉了！最后h(n)=n^2 $i d (n)$

ans的初始值是什么呢？前x的平方和式子是：n*(n+1)*(2n+1)/6。代码实现就仿照刚刚那个啦。

例题3：N=1e10，求

和上面的一样，自己动手推一下

好了经过一番推理之后，g也是同上题一样，也是取id函数的，下面是代码：

int dfs(ll x)
{
    if(x<=N-5) return sum[x];
    if(mp[x]) return mp[x];
    ll ans=1;
    for(ll l=2,r;l>=0&&l<=x;l=r+1){
        r=x/(x/l);//*(r-l+1)是因为这个数重复了这么多次 
        ll xx=(l+r) %mod *inv2 %mod *(r-l+1) %mod *dfs(x/l) %mod;//注意要对2求逆元 
        //L+r/2是因为原式里面有i 所以跳过一个区间时要加上这个区间和 ：(l+r)/2首项加末项除以二 
        ans=(ans-xx+mod)%mod;
    }
    return mp[x]=ans;
}

然后是一个式子化简的小技巧：

最后说说N的范围，N太小了会T，太大了也可能会T，最好取600万

可以写写的题：洛谷P4213，P3768

完结啦~~