番外篇：生产要素最适投入分析(Optimum input of factors)

生产要素最适投入分析 (Optimum input of factors)

收益递减规律（Law of Diminishing Returns）

在技术和其他生产要素固定不变的条件下，连续把某一生产要素投入量增加到一定数量之后，边际产量将出现递减现象。

总产量/平均产量/边际产量/生产弹性（TPP/APP/MPP/Ep）

产量与多个生产要素具有一定的函数关系，为了研究某一可变生产要素的最佳投入量，我们将其他变量固定，考察该可变生产要素与产量的函数关系，记投入一定量 x 的可变生产要素时产量为 y ，则：

y=Φ(x)

即生产函数

• 总产量（Total Physical Product，TPP）
  一定量的某可变生产要素（variable factor）生产出来的全部产量，生产函数即总产量的函数。

  TPP=y

• 平均产量（Average Physical Product，APP）
  每一单位的 variable factor 产生的产量。等于TPP除以生产要素的投放量。
  

  APP=TPP/x=y/x

• 边际产量（Marginal Physical Product，MPP）
  每增加一个单位的 variable factor 所增加的额外的产出。是产品增量与生产要素增量的比值。在连续的生产函数情况下，可以看作生产函数的一阶导数。可变生产要素不连续变化的情况下：

  MPP=ΔTPP/Δx=Δy/Δx
  
  连续变化的情况下：
  
  MPP=dTPP/dx=dy/dx

在不连续的情况下，如下表所示：

连续的变化情况如下图所示：

可以看出，在最初阶段，TPP，APP，MPP都是上升的，但是都会在一定时间后开始下降，即收益递减的结果。首先，MPP表征TPP的变化程度，即增加还是减少以及增加或减少的快慢。当MPP达到最大值的时候，TPP此时增速最快，在几何意义上即在该点的切线斜率最大。MPP在此之前上升，即TPP正在加速增长，在此之后，MPP下降，表示TPP开始减速增长。但是只要MPP为正，TPP都保持增长。再考察MPP和APP的关系，APP和MPP交汇于APP的最高点。从数学角度来说，根据MPP 和 APP的定义，可知，求APP最大值即使其导数为0，即：

d(Φ(x)/x)dx=0,其中 y=Φ(x)

解为

dy/dx=y/x

即 MPP = APP。一个直观的例子为，考虑一个数组，若加入一个大于数组元素平均值的新数，则得到的新数组的平均值一定大于原来的平均值，相反则小于原来的平均值，此即MPP大于和小于APP的情况。所以在APP的上升阶段，MPP大于APP，而当两者相交后，MPP小于APP，所以APP下降。但是 MPP仍大于0，故TPP仍增长。当MPP = 0 时，即边际效益消失，再继续增加生产要素不会带来边际收益，因此TPP在此时达到最高，之后开始下降。数学角度来说即导数=0时取最值。在MPP = APP 到 MPP = 0 这一段，是Rational Region of Production，即理性人投资区域。

• 生产弹性（Production Elasticity，Ep）
  生产弹性指的是产量变动的比率与生产要素投入量变动的比率的比值。表征这产量变动对于生产要素投入量变动的敏感程度。
  

  Ep=dTPP/TPPdx/x=dy/ydx/x=dy/dxy/x=MPPAPP
  
  因此，Ep的取值与上述的指标有以下关系：

  • Ep > 1 ，即 MPP > APP ，APP+ ，TPP+

  • Ep = 1 ，即 MPP = APP ， APPmax

  • 0 < Ep < 1 ，即 MPP < APP， APP- ，TPP+

  • Ep = 0 ，即 MPP = 0 ，TPPmax

  • Ep < 0 ，即 MPP < 0 ，TPP-

生产投入三阶段

如上图所示，生产阶段可以划分为三个：
1. 从初始到APP max，此时弹性大于1，边际大于平均，APP不断增长。
2. 从APP max到TPP max（即MPP = 0），此时弹性大于0小于1,平均和边际都不断减少，但是边际大于零，因此TPP增长。
3. 自TPP max 之后，弹性小于0 ，为负收益阶段，TPP减小。

可变生产要素合理投入

如果不考虑价格，只考虑实物形态报酬，则TPP最大点即最佳投资点。如果考虑生产要素的价格（Px）和产出物的价格（Py），根据利润最大化原则，投入最适点为边际收益等于边际成本。即

Pxdx=Pydy

即

dydx=PxPy

即为最佳投资点，必落在第二阶段。

THE END

星期日, 10. 十二月 2017 04:05下午