DLT（Direct Linear Transform）算法

1、DLT定义

DLT是一个用于解决包含尺度问题的最小二乘问题的算法。

DLT解决问题的标准形式为：

${x_k}{propto}A{y_k}$ $(1)$

另一种表现形式为：

${x_k}={alpha}A{y_k}$ 或者 ${alpha}{x_k}=A{y_k}$ $(2)$

这种模型在投影几何中会经常遇到。

例如，针孔相机投影模型，3D点到图像平面的投影关系；

两视图几何中的单应性矩阵（Homography）;

2、DLT求解

因为尺度 $alpha$ 的存在，因为不能用线性齐次最小二乘法直接求解。

由（1）（2）式子可知： $x_k$ 和 $Ay_k$ 的方向是相同的，即叉乘结果为0：

${x_k}{ imes}A{y_k}=0$ $(3)$

对（3）用叉乘矩阵来表示：

${left[{{x_k}} ight]_ imes}A{y_k}=0$ $(4)$

对于（4）式，可参考：向量叉乘与叉乘矩阵

对（4）式进行变型就可以得到一个线性齐次最小二乘求解问题。可以参考：最小二乘法

3、举例

${alpha}{x_k}=A{y_k}$

${x_k}=left[{egin{array}{*{20}{c}} {{x_{1k}}}\ {{x_{2k}}} end{array}} ight]$ ${y_k}=left[{egin{array}{*{20}{c}} {{y_{1k}}}\ {{y_{2k}}}\ {{y_{3k}}} end{array}} ight]$ $A=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \end{array}}\right]$

由公式（4）：

${\left[{{x_k}}\right]_\times}A{y_k}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{2k}}}&{-{x_{1k}}} \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{1k}}}\\ {{y_{2k}}}\\ {{y_{3k}}} \end{array}}\right]$

展开：

$egin{array}{l} {left[{{x_k}} ight]_ imes}A{y_k}=;{a_{11}}{x_{2k}}{y_{1k}}-{a_{21}}{x_{1k}}{y_{1k}}+{a_{12}}{x_{2k}}{y_{2k}}\ ;;;;;;;;;;;;;;;;;-{a_{22}}{x_{1k}}{y_{2k}}+{a_{13}}{x_{2k}}{y_{3k}}-{a_{23}}{x_{1k}}{y_{3k}} end{array}$

写成矩阵的形式：

${left[{{x_k}} ight]_ imes}A{y_k}={b_k}a=0$

其中：

${b_k}=left[{egin{array}{*{20}{c}} {{x_{2k}}{y_{1k}}}\ {-{x_{1k}}{y_{1k}}}\ {{x_{2k}}{y_{2k}}}\ {-{x_{1k}}{y_{2k}}}\ {{x_{2k}}{y_{3k}}}\ {-{x_{1k}}{y_{3k}}} end{array}} ight]$ $a=left[{egin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}\ {{a_{21}}}\ {{a_{12}}}\ {{a_{22}}}\ {{a_{13}}}\ {{a_{23}}} end{array}} ight]$