Levenberg-Marquardt迭代（LM算法）-改进Guass-Newton法

              1、前言

                               a、对于工程问题，一般描述为：从一些测量值（观测量）x 中估计参数 p？即x = f(p)，

                             其中，x为测量值构成的向量，参数p为待求量，为了让模型能适应一般场景，这里p也为向量。

                             这是一个函数求解问题，可以使用Guass-Newton法进行求解，LM算法是对Newton法的改进。

                         c、如果函数f为线性函数，那这个问题就变成了最小二乘问题（请参阅我另一篇博客：最小二乘法），

                         d、这篇博客中讲解的LM法、Newton法主要用于函数f为非线性函数的情况。

              2、x = f(p)问题的Newton法求解

                               当迭代到第k次的时候得到参数 $p_k$ ，其中 $varepsilon_k$ 为残差：

                                              $x-f({p_k})={varepsilon_k}quad(1)$

                         对f(p)进行一阶泰勒公式展开,J为Jacobi(雅可比)矩阵，因为参数p是个向量，因此对p的求导即对p逐个元素求偏导：

                                              $f({p_{k+1}})=f({p_k}+Delta)approx{f({p_k})+JDelta}quad(2)$

                         计算第k+1次的残差：

                                              $x-f({p_{k+1}})=x-f({p_k})-JDelta={varepsilon_k}-JDeltaquad(3)$

                         通过第k次到第k+1次的迭代，

                         可以发现已经把非线性问题 $x-f({p_{k+1}})=0$ 转化为线性求解 ${varepsilon_k}-JDelta=0$ ，则最小二乘解为：

                                              ${J^T}JDelta={J^T}{varepsilon_k}quad(4)$

                                              $Delta={({J^T}J)^{-1}}{J^T}{varepsilon_k}quad(5)$

                         则k+1次的参数p为：

                                              ${p_{k+1}}={p_k}+Deltaquad(6)$

              3、加权Newton迭代

                               在Newton法中，所有的因变量都是等量加权的，除此之外，可以使用一个加权的矩阵对因变量进行加权。

                         例如，当测量矢量 x 满足一个协方差矩阵为 ${Sigma_x}$ 的高斯分布，且希望最小化Mahalanobis距离 $||x-f(p)|{|_Sigma}$ 。

                                 当这个协方差矩阵可以是对角的，则表示 x 各坐标之间相互独立。

                                 当协方差矩阵为正定对称矩阵时，正规变为：

                                             ${J^T}{Sigma^{-1}}J{Delta_k}={J^T}{Sigma^{-1}}{varepsilon_k}quad(7)$

                                             ${Delta_k}={({J^T}{Sigma^{-1}}J)^{-1}}{J^T}{Sigma^{-1}}{varepsilon_k}quad(8)$

                                   备注：马氏距离 $d(x,y)=sqrt{{{(x-y)}^T}{Sigma^{-1}}(x-y)}$

                         通过协方差反向传播，一阶近似下的协方差可以这么计算：

                                   $Sigma={({J^T}Sigma{_x^{-1}}J)^{-1}}$

                         如果不可逆，那这个取逆过程为广义逆。

              4、Levenberg-Marquardt迭代（LM算法）

                               LM算法是对Newton迭代的改进。

                        （4）式的正规方程可以简化写成： $NDelta={J^T}JDelta={J^T}varepsilon$

                         LM算法将上式改为： $N'Delta={J^T}varepsilon$ ，其中 ${N_{ii}^'}=(1+lambda){N_{ii}}$ ，即N的对角线元素乘以 $(1+lambda)$ ，非对角线元素不变 ${N_{ij}^'}={N_{ij}}quad(i{ e}j)$

                         $lambda$ 的设定策略为：在初始化时， $lambda$ 通常设定为 ${10^{-3}}$ 。

                                             如果通过解增量正规方程得到的 $Delta$ 导致误差减小，那么接受该增量并在下一次迭代前将 $lambda$ 除以10。

                                             反之，如果 $Delta$ 值导致误差增加，那么将 $lambda$ 乘以10并重新解增量正规方程，继续这一过程直到求出的一个误差下降的 $Delta$ 为止。

                                             对不同的 $lambda$ 重复地解增量正规方程直到求出一个可以接受的 $Delta$ 。

                               LM算法的直观解释：当 $lambda$ 非常小时，该方法与Newton迭代本质相同。

                                                 当 $lambda$ 非常大时（本质上大于1），此时 ${J^T}J$ 的非对角线元素相对于对角元素而言变得不重要，此时算法倾向于下降法。

                                                  LM算法在Newton迭代和下降方法之间无缝地移动，Newton法将使得算法在解的领域附近快速收敛，下降法使得算法在

                                                  运行困难时保证代价函数是下降的。

              5、Newton法（LM法）两个适用场景的转换

                               a、在上一篇博客Newton法（牛顿法 Newton Method）中讲述了牛顿法适用的两个场景：1、函数求解；2、目标函数的最优化求解

                             上一篇博客中的f(x)相当于这篇博客中的 x –f(p)，上一篇博客中是为了求x，这篇博客中是已知x，求p，只是表述不同。

                               b、这两个场景有时候是可以相互转换的：

                             例如：函数求解问题 f(x) = 0，那也可以认为是求解 min||f（x)||，其中||.||表示二范数，即 $min{f^2{(x)}}$

                             例如：目标函数优化问题 min ||f(x)||，当这个优化问题的理论最优解就是为 0 时，那么这个问题也可以转化为求解 f(x) = 0

自己所有博客汇总